Kiedy można zignorować nieliniowość geometryczną?

Liniowe obliczenia MES to najpopularniejszy typ analizy statycznej z wykorzystaniem elementów skończonych. Jakiś czas temu omawiałem, kiedy można bezpiecznie ignorować nieliniowość materiałową. Dzisiaj skupię się na tym, kiedy można zignorować nieliniowość geometryczną.

Krótkie przypomnienie

Jest kilka rzeczy, które powinniśmy rozważyć, kiedy mówimy o „statyce liniowej”. Nie będziemy tu poruszać zagadnień dynamiki, jednak słowo „liniowy” oznacza, że pomijamy w obliczeniach kilka ważnych kwestii.

Istnieją różne aspekty, które mogą być traktowane jako liniowe w analizie:

• Materiał – to oczywista sprawa. Myślę, że kiedy pyta się inżynierów, czym jest nieliniowość, to większość automatycznie myśli o nieliniowości materiałowej. Istnieją różne modele materiałowe. Są one dostępne w programach i wymagają wielu ustawień. Dobrze jest więc wiedzieć, kiedy można uprościć zadanie i po prostu użyć materiału liniowego.
• Geometria – kolejny oczywisty aspekt. Nieliniowość geometryczna może pomóc nam w analizie wyboczenia lub przy uwzględnianiu efektów drugiego rzędu. Niestety zdefiniowanie takiej analizy zajmuje zwykle trochę czasu… same obliczenia też trwają dłużej. Naturalnym jest więc pytanie, kiedy możemy bezpiecznie zrezygnować z takich analiz.
• Kontakt – to nieco podchwytliwe. W zależności od analizowanego zadania musisz ustalić, czy kontakt jest zawsze nieliniowy, czy też może być również liniowy. Nie wezmę udziału w dyskusji o definicji – nie znoszę argumentów na temat semantyki! Tak czy inaczej kontakt może być nieliniowy – zastanowimy się więc, kiedy zignorowanie tego ma sens.
• Siły podążające – to relatywnie małe zagadnienie. Jeśli jest to w ogóle „nieliniowość”, to dyskusyjna. Skoro pomijamy geometryczną nieliniowość, jesteśmy pewni, że deformacje w modelu są niewielkie. W takich przypadkach nie ma znaczenia, czy obciążenia podążają za kształtem geometrii, czy też nie. Odgrywa to rolę w analizie geometrycznie nieliniowej, dzisiaj pozostajemy jednak w strefie tej liniowej.

Jak już wspomniałem, w ostatnim poście skupiłem się na nieliniowości materiałowej. Dziś pora zająć się nieliniowością geometryczną i tym, kiedy bezpiecznie można ją zignorować. Jako że „siły podążające” są mocno związane z tym zagadnieniem, występują dzisiaj gratis.

Kiedy można bezpiecznie zignorować nieliniowość geometryczną?

To dość trudne pytanie. Jeśli wiesz już, jak działa nieliniowość geometryczna, wiesz też, że to dużo subtelniejszy problem od nieliniowości materiałowej. Najprostszym sposobem sprawdzenia, czy możemy zignorować tę nieliniowość, byłoby porównanie wyników dwóch analiz: geometrycznie liniowej i nieliniowej. To jednak mało wydajna metoda. Są łatwiejsze sposoby, nawet jeśli wymagają one nieco doświadczenia.

Najłatwiej byłoby przeprowadzić liniową analizę wyboczeniową (LBA). Jeśli chcesz nauczyć się o tym więcej, zapraszam na mój darmowy kurs online (w języku angielskim), który znajdziesz pod tym postem:

Zwykle gdy coś jest wrażliwe na nieliniowość geometryczną (duże deformacje), wiąże się to z niewielką sztywnością giętną. Analizowany element nie może w „wystarczająco sztywny” sposób poradzić sobie z obciążeniem, próbuje więc zmienić sposób jego przenoszenia. Takie efekty powodują otrzymanie niskich wartości własnych w analizie LBA. Jeśli więc masz pewne doświadczenie i wiesz, czego szukać, analiza LBA wydaje się być świetnym początkiem.

Za „niskie wartości” z LBA przyjmuje się te mniejsze od 10. To „popularna” wartość. Jest nawet wymieniona w Eurokodzie 3 dla konstrukcji stalowych. Eurokod ten podaje również, że jeśli projektujesz konstrukcję plastycznie, powinieneś dążyć do wartości własnych powyżej 15.

(Nie taki) prosty przykład LBA

Na ogół niechętnie udzielam takich informacji bez większych komentarzy. Widzisz – to nie jest „idealne” rozwiązanie. Pokażę to na prostym przykładzie. Wyobraź sobie, że projektujesz stalową kratownicę. Wszystkie sprawdzenia według Eurokodu (również wyboczenie elementów) są ok, a wytężenie elementów wynosi maksymalnie 96%:

Dla krótkich ściskanych elementów nośność na wyboczenie jest 2-2.5 raza mniejsza od siły Eulera (w związku z imperfekcjami itd.). Oznacza to, że jeśli analizujesz prostą kratownicę, otrzymasz mnóstwo wartości własnych na poziomie 2.0 – 2.5. Dokładnie mówiąc… 96 pierwszych wartości własnych mieści się w zakresie 2.01 – 5.04. Wyglądają one tak:

Nie oznacza to jednak, że nasza kratownica jest podatna na efekty nieliniowości geometrycznej… nawet jeśli wynika tak z kryteriów, które przed chwilą podałem. Łatwo to udowodnić. Wystarczy przeprowadzić liniowe obliczenia. Zapamiętaj, że maksymalne ugięcie kratownicy wynosi 64.4 mm (maksymalne wytężenie natomiast 96%).

Następnie przeprowadzę analizę geometrycznie nieliniową. W tym przypadku maksymalne ugięcie wynosi 67.8 mm:

Maksymalne wytężenie elementów wynosi 100%.

Tak więc otrzymałem prawie 100 wartości własnych poniżej 5.4 (a więc znacznie poniżej zalecanej wartości 10). Sugerowałoby to, że problem nieliniowości geometrycznej powinien być istotny w tym modelu. Tak jednak nie jest. W przypadku analizy nieliniowej zarówno odkształcenia, jak i wytężenia wrosły o ok. 5%. Jest to dość zaskakująca zmiana, prawda?

To główny problem nieliniowości geometrycznej – wymaga doświadczenia, żeby móc określić, kiedy można ją ignorować. Zwykle dlatego na ogół wolę przeprowadzać w MESie analizy geometrycznie nieliniowe… tak na wszelki wypadek. Po 10 latach doświadczenia MES wciąż potrafi mnie zaskakiwać!

Jeśli do sprawdzeń używasz LBA, warto wiedzieć, czy Twój solver uwzględnia deplanację przekroju (tzw. „7 stopień swobody”). Jeśli nie, Twoje LBA nie będzie w stanie wykryć wyboczenia skrętnego w belkach. Dobrze będzie natomiast działać w płytach/powłokach/bryłach.

Sprawdź deformacje!

Innym dobrym pomysłem jest zadbanie o spełnienie kryteriów normowych dla maksymalnych odkształceń. Oczywiście dla wielu elementów nie ma ustalonych takich kryteriów. Na szczęście zawsze można znaleźć analogię obliczanych elementów do zdefiniowanych przypadków. Jeśli mieścisz się w zakresie „dopuszczalnych” odkształceń, nie powinieneś mieć problemu z „dużymi odkształceniami” (chyba że norma, której używasz, definiuje to inaczej).

Kryteria określające dopuszczalne deformacje na ogół funkcjonują jako wzór: długość elementu dzielona przez pewną wartość (np. L/250). Takie podejście jest powszechnie stosowane w budownictwie. Zgodnie z Eurokodami sprawdzenie takie nazywane jest SGU (stan graniczny użytkowalności). Jeśli wykonujesz takie sprawdzenia, pamiętaj, że dla wsporników wszystkie dopuszczalne odkształcenia są 2 razy większe!

Kiedy mam wątpliwości, jakie kryterium deformacji przyjąć, kieruję się takimi wytycznymi:

• Jeśli element jest „mało istotny”, przyjmuję, że jego odkształcenie nie powinno przekraczać L/200.
• Jeśli jest to coś, co może przejść w stan błonowy (np. cienkie płyty), dopuszczam L/150 (czasami L/200).
• W przypadku ważniejszych elementów (które powinny być sztywne) przyjmuję L/350.
• Jeśli deformacje są „praktycznie niedopuszczalne”, przyjmuję L/500 lub w ekstremalnych przypadkach L/1000.

Powyższe to oczywiście reguły wyssane z palca, powinny jednak dać Ci ogólne pojęcie, w jakim zakresie mieszczą się dopuszczalne deformacje.

5% odkształceń

W dyskusji na Linkedinie (w języku angielskim) mój przyjaciel Leonardo Rosa zwrócił mi uwagę, ze istnieje popularna zasada 5% odkształceń. Zgodnie z nią jeśli w analizie liniowej otrzymasz odkształcenia powyżej 5%, powinieneś przeprowadzić analizę geometrycznie nieliniową.

Zdecydowanie ciekawy pomysł – to nic nie boli, żeby przeprowadzić takie dodatkowe sprawdzenie.

Podsumowanie

Żeby sprawdzić, czy możesz zignorować geometryczną nieliniowość:

• Zrób analizę LBA – jeśli najmniejsza wartość własna jest wyższa niż 10 (projektowanie sprężyste) lub 15 (projektowanie plastyczne), najprawdopodobniej bezpiecznie możesz zignorować nieliniowość geometryczną.
• Jeśli najniższa wartość własna jest niższa od podanych wartości, zachowaj ostrożność. Nie oznacza to jeszcze, że musisz używać nieliniowości geometrycznej, warto to jednak rozważyć.
• Sprawdź deformacje z obliczeń liniowych – powinny spełniać podane kryteria.
• Jeśli możesz zignorować nieliniowość geometryczną, spokojnie możesz też zignorować „siły podążające”.
• Jeśli nie jesteś pewien, użyj geometrycznej nieliniowości – lepiej stracić czas niż później żałować!

Chcesz uczyć się więcej?

To wspaniale! Specjalnie dla Ciebie stworzyłem darmowy kurs MES. Możesz się do niego zapisać poniżej.