Analiza materiałowo nieliniowa – jak działa?

Kiedy ludzie myślą o analizie nieliniowej, zwykle pierwsze, co przychodzi im na myśl, to nieliniowość materiałowa. Jest to najbardziej oczywisty aspekt nieliniowości w obliczeniach. Nie odważę się powiedzieć, że analiza materiałowo nieliniowa jest tą najważniejszą (myślę, że żadna analiza nie jest), jednak bez wątpienia to bardzo ważna część wiedzy inżynierskiej. Dlatego dzisiaj będzie o tym, jak działa ta analiza i co tak naprawdę znaczy.

Słowo ostrzeżenia

Jest tak wiele aspektów nieliniowości materiałowej, że może się od nich zakręcić w głowie! Szczerze mówiąc, z wieloma z tych aspektów nie mam żadnego doświadczenia. Zdobycie go zajmie mi całe lata (wciąż nad tym pracuję).

Jestem inżynierem budownictwa zajmującym się konstrukcjami stalowymi, więc dla mnie nieliniowość materiałowa wiąże się głównie z uplastycznieniem. Na tym się dzisiaj skupię. Jeśli masz doświadczenia związane z innym aspektem i chcesz podzielić się wiedzą, daj mi znać. Miło byłoby gościć Cię tutaj : )

Poniżej możesz spodziewać się prostego wyjaśnienia bez złożonych teorii, czym jest nieliniowość materiałowa. Jeśli interesują Cię inne typy nieliniowości materiałowej w MESie, zajrzyj tutaj.

Zacznijmy od krzywej naprężenia-odkształcenia dla stali

Nie chcę się tu zbytnio wgłębiać w detale. Jestem pewien, że jeśli zajmujesz się inżynierią, już widziałeś ten wykres… setki razy! To krzywa zależności naprężenia-odkształcenia dla stali. Może być też rysowana jako rzeczywiste naprężenia – rzeczywiste odkształcenia, jednak nie jest to temat na dziś. Na szczęście w dzisiejszym temacie różnica pomiędzy obiema krzywymi jest nieistotna.

Istotne jest to, że istnieje część sprężysta (w której naprężenia są proporcjonalne do odkształceń), półka plastyczna (gdzie odkształcenia plastyczne przyrastają przy praktycznie stałym poziomie naprężeń), następnie wzmocnienie i zniszczenie.

Dzisiaj skupię się głównie na 2 pierwszych częściach tego wykresu – części sprężystej i półce plastycznej. Oznacza to, że przy ograniczonych naprężeniach mogę traktować moją stal jako materiał bilinearny (sprężysto-plastyczny) z następującą charakterystyką:

To typowy model sprężysto-plastyczny. Czasami stosuje się też efekt wzmocnienia plastycznego (półka plastyczna nie przebiega poziomo, tylko wznosi się nieznacznie). Więcej możesz przeczytać o tym w poście, o którym wspominałem na początku.

Model sprężysto-plastyczny działa tylko do pewnego maksymalnego odkształcenia plastycznego (w którym zaczyna się wzmocnienie). Na wykresie po lewej opisałem to jako maksymalne dopuszczalne odkształcenie plastyczne („max allowed plastic strain”). Na razie zakładam, że nasz model nie osiągnie tak dużych wartości odkształceń. W rzeczywistej analizie sprawdza się to po prostu, wyświetlając wartości odkształceń plastycznych i sprawdzając ich maksymalne wartości. Jak widać na wykresie po prawej, dla wyższych wartości odkształceń plastycznych model będzie działał tak, jakby półka plastyczna była nieskończona. Może to wpływać na dokładność wyników, dlatego sprawdzanie odkształceń plastycznych jest dobrym pomysłem.

„Darmowe” odkształcenia

Wiele materiałów ma nieliniową zależność naprężeń od odkształceń. Większość z nich początkowo jest sztywniejsza, po czym przy wzroście naprężeń stopniowo traci sztywność. Stal ma jednak jedną niesamowitą cechę – potrafi się uplastyczniać.

Uplastycznienie oznacza, że materiał będzie miał stałe naprężenia (a więc i nośność pozostanie ta sama) przy wzrastających odkształceniach. To ogromna zaleta. Istnieje wiele korzyści płynących z uplastycznienia (tak jak i problemów…), tutaj skupię się jednak na aspektach dotyczących rozkładu naprężeń plastycznych.

Pomyśl o tym w ten sposób:

3 facetów trzyma kamień nad głową. Środkowy facet jest jednak zbyt niski, więc w zasadzie nic nie robi, podczas gdy wyżsi faceci po bokach przenoszą cały ciężar. Wyobraź sobie, że przedstawiają oni kruchy materiał, a kamień jest zbyt ciężki. W takiej sytuacji 2 wysocy faceci nie dadzą rady i zostaną zmiażdżeni. Dopiero wtedy kamień spadnie na środkowego gościa, który będzie bez szans. Jednak, jak pisałem wcześniej:

Stal może utrzymać pewien stały poziom naprężeń (uplastycznienia) przy wzroście odkształceń.

W naszym przykładzie oznaczałoby to, że obaj wysocy faceci mogą przykucnąć, wciąż trzymając kamień. W takim wypadku kamień znajdzie się niżej i gość pośrodku będzie mógł im pomóc… teraz kamień dźwiga już 3 facetów (zamiast 2)!

Zjawisko to nazywa się plastyczną redystrybucją lub przystosowaniem plastycznym. Istnieją tu oczywiście ograniczenia:

• Odkształcenia plastyczne nie mogą być zbyt duże – faceci mogą jedynie nieco przykucnąć, zanim kamień ich zmiażdży.
• Sztuczki tej nie można powtarzać za często – jeśli spodziewasz się, że wysocy faceci będą w kółko kucać i wstawać, szybko się zmęczą i poddadzą (zmęczenie niskocyklowe – niebezpieczna rzecz!).
• Izotropowe/kinematyczne wzmocnienie materiału – w każdym cyklu obciążenia zmienia się nieco krzywa naprężenia-odkształcenia.

Jak działa analiza materiałowo nieliniowa

Analogie są bardzo przydatne, zobaczmy jednak, jak to wszystko działa w elemencie stalowym. Najprostszym przykładem jest zginana belka:

Jak widzisz, naprężenia są największe na górnej i dolnej krawędzi przekroju i maleją w kierunku środka. To stan czysto sprężysty.

Aby wyjaśnić, jak działa plastyczność, musimy przeprowadzić mały eksperyment. Wyobraź sobie, że wycinamy niewielką część belki gdzieś pośrodku. Zginanie oznacza, że pionowe boki naszego wyciętego segmentu chcą się obracać w ten sposób (oczywiście deformacje są kompletnie nie w skali, ale dzięki temu możemy je dobrze zobaczyć):

Teraz podzielimy ten mały kawałek na kilka poziomych pasków. Zmierzymy też odkształcenia w tych paskach. Odkształcenie – to generalnie różnica pomiędzy „oryginalnym niezdeformowanym kształtem” a „kształtem zdeformowanym podczas zginania” dzielona przez początkową długość. Łatwo można zauważyć, że zewnętrzne paski (1 i 7) deformują się mocno (odkształcenia są tam więc duże). Odkształcenia maleją, gdy przesuwamy się w kierunku środka przekroju.

Oczywiście odkształcenia w każdym pasku są proporcjonalne i zmieniają się liniowo tak długo, jak przekroje pozostają płaskie przy zginaniu (zwykle tak się dzieje). Tak więc, jeśli maksymalne odkształcenie w pasku 1 wynosi 0.0035, maksymalne odkształcenie w pasku 2 wynosi 0.0025, a w pasku 4 0.0005. To prosta liniowa zależność.

Założyliśmy, że przekrój pozostanie płaski przy zginaniu. Oznacza to, że prawie pionowe boki naszego wyciętego fragmentu pozostaną liniami prostymi. Jest to rozsądne założenie. Uzbrojeni w tę wiedzę wiemy też, że jeśli odkształcenia w pasku 1 wzrosną dwukrotnie, to również dwukrotnie wzrosną odkształcenia we wszystkich pozostałych paskach. Odkształcenia w naszym przekroju wyglądają tak:

Wróćmy do sprężysto-plastycznego wykresu zależności naprężeń od odkształceń, który przyjęliśmy do tego zadania. Gdy materiał znajduje się w strefie sprężystej, naprężenia przyrastają proporcjonalnie do odkształceń. Kiedy jednak osiągniemy półkę plastyczną, przyrastają jedynie odkształcenia (podczas gdy naprężenia są praktycznie stałe).

Wiemy już, jak zmieniają się odkształcenia w dowolnym przekroju. Sprawdźmy więc, jak zmiana ta wpływa na rozkład naprężeń w tym samym przekroju:

Jak widać, na początku w zewnętrznych częściach przekroju występowały bardzo duże naprężenia, podczas gdy środek przekroju praktycznie nie pracował. To podobny przypadek do 3 facetów dźwigających kamień. Stal jest w stanie przenosić obciążenia również przy zwiększonych odkształceniach (jak wtedy, gdy dwaj faceci przykucnęli). Jest z tego znaczna korzyść – im większe obciążenie, tym więcej przekroju poprzecznego włącza się do pracy! Większe odkształcenia na zewnętrznych krawędziach pozwalają na powstanie odkształceń również w środku przekroju. W ten sposób pojawiają się tam również naprężenia, które pomagają w przenoszeniu momentu zginającego. Dokładnie tak, jak niski facet pomógł z kamieniem!

To wcale nie jest taki mały efekt – w przypadku zginanego przekroju prostokątnego możemy uzyskać w ten sposób dodatkowe 50% nośności. W przypadku belek dwuteowych zysk ten będzie na poziomie 6-10%, to jednak zawsze coś : )

Do zapamiętania:

Nieliniowość materiałowa to świetna zabawa! Mam nadzieję, że udało mi się przekazać Ci coś wartego Twojego czasu. Podsumujmy najważniejsze rzeczy:

• Zawsze, gdy odkształcenia w Twoim modelu są na tyle duże, że pojawia się uplastycznienie, powinieneś używać nieliniowego modelu materiałowego.
• Najłatwiejszym modelem jest model sprężysto-plastyczny. Należy jednak zawsze sprawdzić, czy maksymalne odkształcenia w modelu nie przekraczają wartości, po której następuje wzmocnienie.
• Uplastycznienie pozwala na przeniesienie części obciążenia na inne elementy konstrukcji (jak „środkowy facet”).
• Plastyczna redystrybucja obciążeń jest bardzo przydatna, należy jednak pamiętać o takich problemach, jak niskocyklowe zniszczenie (jeśli obciążenie zmienia się w czasie).

Chcesz nauczyć się więcej?

Jeśli podobał Ci się dzisiejszy post, podziel się nim z przyjaciółmi – będę za to ogromnie wdzięczny. Jeśli masz wolne 15 sekund, napisz komentarz ze swoimi przemyśleniami lub pytaniami. Staram się odpowiadać na wszystkie komentarze. 

Jeśli interesujesz się MESem, możesz dowiedzieć się kilku przydatnych rzeczy ma moim darmowym kursie. Możesz się do niego zapisać poniżej: