(function(w,d,s,l,i){w[l]=w[l]||[];w[l].push({'gtm.start': new Date().getTime(),event:'gtm.js'});var f=d.getElementsByTagName(s)[0], j=d.createElement(s),dl=l!='dataLayer'?'&l='+l:'';j.async=true;j.src= 'https://www.googletagmanager.com/gtm.js?id='+i+dl;f.parentNode.insertBefore(j,f); })(window,document,'script','dataLayer','GTM-5M6SH59');
10 minut czytania
28 listopada 2017

Analiza materiałowo nieliniowa – jak działa?

10 minut czytania

Kiedy ludzie myślą o analizie nieliniowej, zwykle pierwsze, co przychodzi im na myśl, to nieliniowość materiałowa. Jest to najbardziej oczywisty aspekt nieliniowości w obliczeniach. Nie odważę się powiedzieć, że analiza materiałowo nieliniowa jest tą najważniejszą (myślę, że żadna analiza nie jest), jednak bez wątpienia to bardzo ważna część wiedzy inżynierskiej. Dlatego dzisiaj będzie o tym, jak działa ta analiza i co tak naprawdę znaczy.

Słowo ostrzeżenia

Jest tak wiele aspektów nieliniowości materiałowej, że może się od nich zakręcić w głowie! Szczerze mówiąc, z wieloma z tych aspektów nie mam żadnego doświadczenia. Zdobycie go zajmie mi całe lata (wciąż nad tym pracuję).

Jestem inżynierem budownictwa zajmującym się konstrukcjami stalowymi, więc dla mnie nieliniowość materiałowa wiąże się głównie z uplastycznieniem. Na tym się dzisiaj skupię. Jeśli masz doświadczenia związane z innym aspektem i chcesz podzielić się wiedzą, daj mi znać. Miło byłoby gościć Cię tutaj : )

Poniżej możesz spodziewać się prostego wyjaśnienia bez złożonych teorii, czym jest nieliniowość materiałowa. Jeśli interesują Cię inne typy nieliniowości materiałowej w MESie, zajrzyj tutaj.

Zacznijmy od krzywej naprężenia-odkształcenia dla stali

Materially nonlinear analysis - stress-strain curve

Nie chcę się tu zbytnio wgłębiać w detale. Jestem pewien, że jeśli zajmujesz się inżynierią, już widziałeś ten wykres… setki razy! To krzywa zależności naprężenia-odkształcenia dla stali. Może być też rysowana jako rzeczywiste naprężenia – rzeczywiste odkształcenia, jednak nie jest to temat na dziś. Na szczęście w dzisiejszym temacie różnica pomiędzy obiema krzywymi jest nieistotna.

Istotne jest to, że istnieje część sprężysta (w której naprężenia są proporcjonalne do odkształceń), półka plastyczna (gdzie odkształcenia plastyczne przyrastają przy praktycznie stałym poziomie naprężeń), następnie wzmocnienie i zniszczenie.

Dzisiaj skupię się głównie na 2 pierwszych częściach tego wykresu – części sprężystej i półce plastycznej. Oznacza to, że przy ograniczonych naprężeniach mogę traktować moją stal jako materiał bilinearny (sprężysto-plastyczny) z następującą charakterystyką:

Materially nonlinear analysis - bi-linear material model

To typowy model sprężysto-plastyczny. Czasami stosuje się też efekt wzmocnienia plastycznego (półka plastyczna nie przebiega poziomo, tylko wznosi się nieznacznie). Więcej możesz przeczytać o tym w poście, o którym wspominałem na początku.

Model sprężysto-plastyczny działa tylko do pewnego maksymalnego odkształcenia plastycznego (w którym zaczyna się wzmocnienie). Na wykresie po lewej opisałem to jako maksymalne dopuszczalne odkształcenie plastyczne („max allowed plastic strain”). Na razie zakładam, że nasz model nie osiągnie tak dużych wartości odkształceń. W rzeczywistej analizie sprawdza się to po prostu, wyświetlając wartości odkształceń plastycznych i sprawdzając ich maksymalne wartości. Jak widać na wykresie po prawej, dla wyższych wartości odkształceń plastycznych model będzie działał tak, jakby półka plastyczna była nieskończona. Może to wpływać na dokładność wyników, dlatego sprawdzanie odkształceń plastycznych jest dobrym pomysłem.

„Darmowe” odkształcenia

Wiele materiałów ma nieliniową zależność naprężeń od odkształceń. Większość z nich początkowo jest sztywniejsza, po czym przy wzroście naprężeń stopniowo traci sztywność. Stal ma jednak jedną niesamowitą cechę – potrafi się uplastyczniać.

Uplastycznienie oznacza, że materiał będzie miał stałe naprężenia (a więc i nośność pozostanie ta sama) przy wzrastających odkształceniach. To ogromna zaleta. Istnieje wiele korzyści płynących z uplastycznienia (tak jak i problemów…), tutaj skupię się jednak na aspektach dotyczących rozkładu naprężeń plastycznych.

Pomyśl o tym w ten sposób:

Materially nonlinear analysis - 3 guys with a rock (cool right?)

3 facetów trzyma kamień nad głową. Środkowy facet jest jednak zbyt niski, więc w zasadzie nic nie robi, podczas gdy wyżsi faceci po bokach przenoszą cały ciężar. Wyobraź sobie, że przedstawiają oni kruchy materiał, a kamień jest zbyt ciężki. W takiej sytuacji 2 wysocy faceci nie dadzą rady i zostaną zmiażdżeni. Dopiero wtedy kamień spadnie na środkowego gościa, który będzie bez szans. Jednak, jak pisałem wcześniej:

Stal może utrzymać pewien stały poziom naprężeń (uplastycznienia) przy wzroście odkształceń.

W naszym przykładzie oznaczałoby to, że obaj wysocy faceci mogą przykucnąć, wciąż trzymając kamień. W takim wypadku kamień znajdzie się niżej i gość pośrodku będzie mógł im pomóc… teraz kamień dźwiga już 3 facetów (zamiast 2)!

Materially nonlinear analysis - 3 guys, 2 squats, 1 rock!

Zjawisko to nazywa się plastyczną redystrybucją lub przystosowaniem plastycznym. Istnieją tu oczywiście ograniczenia:

  • Odkształcenia plastyczne nie mogą być zbyt duże – faceci mogą jedynie nieco przykucnąć, zanim kamień ich zmiażdży.
  • Sztuczki tej nie można powtarzać za często – jeśli spodziewasz się, że wysocy faceci będą w kółko kucać i wstawać, szybko się zmęczą i poddadzą (zmęczenie niskocyklowe – niebezpieczna rzecz!).
  • Izotropowe/kinematyczne wzmocnienie materiału – w każdym cyklu obciążenia zmienia się nieco krzywa naprężenia-odkształcenia.

Jak działa analiza materiałowo nieliniowa

Analogie są bardzo przydatne, zobaczmy jednak, jak to wszystko działa w elemencie stalowym. Najprostszym przykładem jest zginana belka:

Linear stress distribution in bended beam

Jak widzisz, naprężenia są największe na górnej i dolnej krawędzi przekroju i maleją w kierunku środka. To stan czysto sprężysty.

Aby wyjaśnić, jak działa plastyczność, musimy przeprowadzić mały eksperyment. Wyobraź sobie, że wycinamy niewielką część belki gdzieś pośrodku. Zginanie oznacza, że pionowe boki naszego wyciętego segmentu chcą się obracać w ten sposób (oczywiście deformacje są kompletnie nie w skali, ale dzięki temu możemy je dobrze zobaczyć):

Deformation of section cut-out in bended beam

Teraz podzielimy ten mały kawałek na kilka poziomych pasków. Zmierzymy też odkształcenia w tych paskach. Odkształcenie – to generalnie różnica pomiędzy „oryginalnym niezdeformowanym kształtem” a „kształtem zdeformowanym podczas zginania” dzielona przez początkową długość. Łatwo można zauważyć, że zewnętrzne paski (1 i 7) deformują się mocno (odkształcenia są tam więc duże). Odkształcenia maleją, gdy przesuwamy się w kierunku środka przekroju.

Strain distribution in bended beam

Oczywiście odkształcenia w każdym pasku są proporcjonalne i zmieniają się liniowo tak długo, jak przekroje pozostają płaskie przy zginaniu (zwykle tak się dzieje). Tak więc, jeśli maksymalne odkształcenie w pasku 1 wynosi 0.0035, maksymalne odkształcenie w pasku 2 wynosi 0.0025, a w pasku 4 0.0005. To prosta liniowa zależność.

Założyliśmy, że przekrój pozostanie płaski przy zginaniu. Oznacza to, że prawie pionowe boki naszego wyciętego fragmentu pozostaną liniami prostymi. Jest to rozsądne założenie. Uzbrojeni w tę wiedzę wiemy też, że jeśli odkształcenia w pasku 1 wzrosną dwukrotnie, to również dwukrotnie wzrosną odkształcenia we wszystkich pozostałych paskach. Odkształcenia w naszym przekroju wyglądają tak:

Materially nonlinear analysis - strain distribution in a beam

Wróćmy do sprężysto-plastycznego wykresu zależności naprężeń od odkształceń, który przyjęliśmy do tego zadania. Gdy materiał znajduje się w strefie sprężystej, naprężenia przyrastają proporcjonalnie do odkształceń. Kiedy jednak osiągniemy półkę plastyczną, przyrastają jedynie odkształcenia (podczas gdy naprężenia są praktycznie stałe).

Materially nonlinear analysis - bi-linear elasto plastic model

Wiemy już, jak zmieniają się odkształcenia w dowolnym przekroju. Sprawdźmy więc, jak zmiana ta wpływa na rozkład naprężeń w tym samym przekroju:

Materially nonlinear analysis - essence of stress and strain distribution

Jak widać, na początku w zewnętrznych częściach przekroju występowały bardzo duże naprężenia, podczas gdy środek przekroju praktycznie nie pracował. To podobny przypadek do 3 facetów dźwigających kamień. Stal jest w stanie przenosić obciążenia również przy zwiększonych odkształceniach (jak wtedy, gdy dwaj faceci przykucnęli). Jest z tego znaczna korzyść – im większe obciążenie, tym więcej przekroju poprzecznego włącza się do pracy! Większe odkształcenia na zewnętrznych krawędziach pozwalają na powstanie odkształceń również w środku przekroju. W ten sposób pojawiają się tam również naprężenia, które pomagają w przenoszeniu momentu zginającego. Dokładnie tak, jak niski facet pomógł z kamieniem!

To wcale nie jest taki mały efekt – w przypadku zginanego przekroju prostokątnego możemy uzyskać w ten sposób dodatkowe 50% nośności. W przypadku belek dwuteowych zysk ten będzie na poziomie 6-10%, to jednak zawsze coś : )

Do zapamiętania:

Nieliniowość materiałowa to świetna zabawa! Mam nadzieję, że udało mi się przekazać Ci coś wartego Twojego czasu. Podsumujmy najważniejsze rzeczy:

  • Zawsze, gdy odkształcenia w Twoim modelu są na tyle duże, że pojawia się uplastycznienie, powinieneś używać nieliniowego modelu materiałowego.
  • Najłatwiejszym modelem jest model sprężysto-plastyczny. Należy jednak zawsze sprawdzić, czy maksymalne odkształcenia w modelu nie przekraczają wartości, po której następuje wzmocnienie.
  • Uplastycznienie pozwala na przeniesienie części obciążenia na inne elementy konstrukcji (jak „środkowy facet”).
  • Plastyczna redystrybucja obciążeń jest bardzo przydatna, należy jednak pamiętać o takich problemach, jak niskocyklowe zniszczenie (jeśli obciążenie zmienia się w czasie).

Chcesz nauczyć się więcej?

Jeśli podobał Ci się dzisiejszy post, podziel się nim z przyjaciółmi – będę za to ogromnie wdzięczny. Jeśli masz wolne 15 sekund, napisz komentarz ze swoimi przemyśleniami lub pytaniami. Staram się odpowiadać na wszystkie komentarze. 

Jeśli interesujesz się MESem, możesz dowiedzieć się kilku przydatnych rzeczy ma moim darmowym kursie. Możesz się do niego zapisać poniżej:

Autor: Łukasz Skotny Ph.D.

Mam ponad 10 lat doświadczenia w praktycznym wykorzystaniu MES w projektowaniu (prowadzę własne biuro projektowe), a do tego przez dekadę byłem wykładowcą na Politechnice Wrocławskiej. Obecnie tutaj dzielę się swoją wiedzą z inżynierii i MES dzięki kursom oraz na blogu!

Dowiedz się więcej

Stateczność konstrukcji stalowych da się lubić...

Zapisz się na darmowy kurs ze stateczności

Comments (20)

Jarek - 2021-11-30 08:17:45

Dobry artykuł,
wyjaśniasz w czytelny i przejrzysty sposób wykresy których nigdy na studiach i po, do końca nie rozumiałem a teraz tak!, wiem o co tu chodzi. Tłumaczysz w bardzo czytelny sposób. Dzięki.

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2021-12-04 21:31:25

Dzięki Jarek!

Bardzo się cieszę że mój styl tłumaczenia Ci się podoba :)

pozdr!
Ł

Reply
Roman - 2019-06-20 14:40:21

Witam Panie Łukaszu,
dziękuje za tego bloga. Pozwolę się zapytać o odkształcenia i ich limit. Tutaj Pan podał DNV-RP-C208 i z tego co przejrzałem nie ma konkretnych podanych limitów, a z Pana doświadczenia, może Pan podać mniej wiecej jakie były limity tych odkształceń. Kolega powyżej podał, że w EN1993-1-5 jest to 5%. Czy to nie jest o wiele za dużo? Przecież odkształcenie plastyczne stali to tylko 0,2%. Więc wszystko powyżej tego limitu już nie wróci do swojego poprzedniego kształtu. A jednak norma podaje, że to może być nawet 5%? Chybaże ja czegoś nie rozumiem poprzez termin 'principal strain'. To też by oznaczało, że każde połączenie w tym programie, w którym odkształcenie bedzie >0,2%, juz będzie miało na stałe imperfekcje i nie wroci do pierwotnego kształtu?

Dziękuje z góry za odpowiedź.

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2019-06-20 15:19:39

Cześć!

Oj uplastycznienie to jest fajny temat ;)

Wiesz, to jest tak - fakt że stal się uplastyczni nie znaczy że coś się "zawali". Ostatecznie pewnie liczyć przekroje na wskaźnik plastyczny (domyślnie wg Eurokodu). A to oznacza że "dopuszczasz" uplastycznienie właściwie całego przekroju.

No i właśnie - czasem to jest ok, a czasem nie. Wiesz, jak masz np. problem ze zmęczeniem uplastycznienie to jest bardzo zły pomysł, o ile nie robisz czegoś specyficznego i liczysz to na low cycle fatigue.

Jeśli natomiast obciążenia są "raczej stałe i w jedną stronę" to uplastycznienie to żadna tragedia (no może się rzeczy trochę bardziej pouginają :P). W takich sytuacjach to 5% to nie jest taka straszna tragedia. W DNV są podane limity - zaczynają się od 3% jeśli mnie pamięć nie myli i dojeżdzają chyba do 10%. Ale tam jest dużo zasad odnośnie uśredniania itp, więc nie brałbym tych wartości "na żywca".

Pozdr
Ł

Reply
Roman - 2019-06-20 15:51:22

Panie Łukaszu,

1. Samo uplastycznienie ok, to jest jasne, ale te odkształcenia. Sam wiem z doświadczenia analiz połączeń, że odkształcenia drastycznie rosną przy powiedzmy ponad 1% przy dołożeniu małego już obciążenia. I teraz odkształcenie jest powiedzmy limit 5%. To oznacza, że nasze połączenie jest zdeformowane i jako że to jest odkształcenie plastyczne to kształt się nie zmieni i nie powroci do oryginalnej formy, tak? Więc przy obciążeniu cyklicznym, zakładając ciągle wysokie obciążenie, to dokładamy za każdym razem siły na już zdeformowany element.

2. Teraz mam pytanie do Pana kolejne jeśli można, przy modelowaniu dowolnego połączenia, np. płytę doczołową, czy dowolnej powłoki właściwie. Odkształcenie procentowe jest w stosunku do czego? No bo dla proby rozciagania kawalka stali jest jasne, ze odkształcenie 10% to Detla L jest rowne 10% długości pręta. Ale dla powłoki, w jakimkolwiek połączeniu to co jest miarą odniesienia dla odkształcenia? Czyli mamy przemieszczenie jakieś i w stosunku do czego jest porównywane by otrzymać odkształcenie w danym węźle powiedzmy?

Dziękuję

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2019-06-21 12:52:43

Cześć!

Wydaje mi się że to nie o to takie 5% tu chodzi :)

Jeśli robimy nieliniowy MES to w każdym elemencie solver liczy "plastic strain". I to właśnie w dowolnym miejscu ten plastic strain nie może być większy niż 5%. To nie ma nic wspólnego (no dobra niewiele wspólnego) z "globalnymi" odkształceniami czegokolwiek. Zatem to nie jest stosunek ugięcia do ugięcia ani nic podobnego.

Zatem nieważne jaka jest konstrukcja - plastic strain się liczy lokalnie w każdym elemencie.

Pozdrawiam
Ł

Reply
Mateusz - 2018-05-11 10:19:52

Witam,

Rowniez od jakiegos czasu zaczytuje sie artykulami z Pana strony. Bardzo ciekawe sa. Gratuluje pomyslu:)

Od jakiegos czasu zastanawialem sie natomiast jakie sa ograniczenia co do tych odksztalcen plastycznych.
W Eurokodzie nie znalazlem ograniczen co do tego parmatru. W normach norweskich NORSOK N-004 sa wprost podane wielkisci maxymalnych odksztalcen przy rozerwaniu (rupture) dla klas stali S235, S355 i S420. Nie moge jednak znalesc dokumentu ktory okreslalby odksztalcenia przy uplastycznieniu dla danej klasy stali.
Do liczenia polaczen stalowych wykorzystuje program Idea Statica i program domyslnie ma ustawione 5% linitu na odksztalcenia plastyczne. Czy moglby ktos potwierdzic ta wartosc i gdzie ja znalesc

Jeszcze tak tylko nawiaze do tego kuciania wyzszych panow. Nalezy tez podkreslic ze tempo/predkosc odksztalcen tez ma wplyw na wlasciwosci stali. W wiekszosci "typowych" przypadkow nie ma to znaczenia ale juz przy analizie/projektowaniu obieltow na uderzenia badz wybuch nalezy uwzglednic jeszcze "cos" wiecej ;)

Pozdrawiam

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2018-05-11 10:28:53

Cześć Mateusz :)

Fakt, strain rate jest istotny... przy dużych prędkościach, ale nie chciałem się zagłębiać w takie detale. Z resztą poza małymi epizodami nie miałem z tematem zderzen na tyle kontaktu by coś rozsądnie o tym napisać :)

Co do limitu to wydaje mi się że w którymś załączniku EN 1993-1-5 jest mowa o 5% ale pewności nie mam. Możesz też poczytać DNV-RP-C208 - tam podano limity zależnie od sytuacji.

Pozdrawiam!
Ł

Reply
Arkadiusz Bała - 2018-07-27 09:03:37

Witam!

Również bardzo lubię czytać artykułu Pana Łukasza, praktycznie nie widziałem czegoś podobnego, napisanego równie przystępnie :)

Zawodowo zajmuję się wsparciem technicznym do Idea StatiCa, więc w odpowiedzi na Pana pytanie o te 5% limitu to wzmiankę na ten temat znajdzie Pan dokładnie w EN1993-1-5, App. C, Par. C.8, Note 1 "NOTE 1: The National Annex may specify the limiting of principal strain. A value of 5% is recommended.".

Pozdrawiam,
Arkadiusz Bała

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2018-07-27 09:08:18

Cześć Arek!

Myślę że tutaj wszyscy jesteśmy po imieniu :)

Dzięki za info... muszę kiedyś przeczytać wszystkie Eurokody od deski do deski. Pewnie jest tam wiele rzeczy o których nawet nie wiem :)

pozdr
Ł

Reply
Mateusz #2 - 2019-11-04 14:01:37

Rozmawiałem o tym po ostatnim szkoleniu Idea Statica ze Sławomirem Labochą, który uznał, że warunek 5% dopuszczalnych odkształceń w węzłach jest dosyć odważny- chociaż dopuszczalny. Tak znaczne odkształcenie występują już w obszarze wzmocnienia stali i z tego co rozumiem mogą mieć istotny wpływ na statykę konstrukcji ze względu na podatność węzła.
Co o tym sądzicie?

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2019-11-04 16:23:36

Cześć Mateusz!

Hmmm... to jest temat na który raczej nie odpowiem "tak lub nie". Fakty są takie że odkształcenia plastyczne ok. 5% są dopuszczalne (EN 1993-1-6 liczy je trochę inaczej jako 50x fy/E i to jest takie 4.5-5.5% zależnie czy S235 czy S355).

To czy to jest "odważne" czy nie, to już zależy co wychodzi. Tutaj nie da się jednoznacznie odpowiedzieć. Bo przecież to może być jakaś kompletnie lokalna sprawa, albo np. pół blachy czołowej. Niby ta sama "cyferka" a sytuacja zupełnie inna. Dochodzi jeszcze temat czy bawimy się w plastyczną redystrybucję, gdzie to jest w konstrukcji, jakie są obciążenia itp.

Oczywiście to będzie miało wpływ na sztywność węzła, ale o tym to już nawet Eurokod pisze zmniejszając sztywność w doczołowych stykach mocno wytężonych (z pamięci tam jest chyba do 66% nic się nie dzieje, a później jest już sztywność sieczna w węźle).

Może to coś pomoże w przemyśleniach :)

pozdr
Ł

Reply
Kuba - 2018-05-06 08:33:42

Cześć
Fajne czytanie na piątek...
Co piątek czytam materiały które mi podsyłasz za które bardzo dziękuję.

W tekście tym celowo pominięto te niedobre klasy przekrojow?
Szczególnie ciesząca się zła sława klasę 4...

Pozdr Kuba

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2018-05-07 03:19:16

Cześć Kuba!

Bardzo się cieszę - miło słyszeć że materiały Ci się podobają : )

Tak - tutaj celowo pominąłem klasy przekroju - to trochę nie o tym temat. Znaczy łatwo da się zauwyażyć co to znaczy wskaźnik plastyczny i dlaczego ma inny rozkład naprężeń niż wskaźnik sprężysty... ale ponadto to jest jednak historia o czymś zupełnie innym : )

Nie napisałem jeszcze posta o klasach przekrojów... może kiedyś się zbiorę :P

pozdr
Ł

Reply
Kamil - 2018-04-29 20:10:35

Cześć Łukasz,

Kolejny raz warto było poświęcić trochę czasu. Dzięki Twoim postom nabieram więcej chęci do dalszej nauki ;)

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2018-04-30 03:22:50

Hej!

Strasznie miło mi to słyszeć : )
Głęboko wierzę że na prawdę warto się uczyć - jeśli moge posty Cię do tego zachęcają... to jest to dla mnie sukces :D

Pozdr
Ł

Reply
Sławomir - 2018-03-26 15:21:41

Post genialny. Naprawdę jestem pod olbrzymim wrażeniem. Gratuluję, naprawdę posiada Pan wyjątkowy talent do przedstawiania trudnych zagadnień prostymi słowami - co w przypadku wytrzymałości materiałów i analizy MES zdarza się... chyba wcale :-)

Pozdrawiam gorąco i dziękuję za włożoną pracę!

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2018-03-27 02:56:44

Cześć!

Dzięki! Strasznie się Cieszę że post Ci się podobał :)

Pozdr
Ł

Reply
Piotr - 2018-03-25 13:01:14

Pana posty są świetne. Podziwiam talent dydaktyczny i umiejętność dobierania trafnych porównań.
Pozdrawiam i dziękuję za dobrą lekturę

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2018-03-25 15:27:40

Cześć :)

Dzięki za miłe słowa - cieszę się że to co robię przypadło Ci do gustu :)

Pozdr
Ł

Reply

Zapisz się na mój Newsletter

otrzymasz darmowy kurs ze stateczności konstrukcji stalowych