Analiza geometrycznie nieliniowa – jak to działa?

Analiza geometrycznie nieliniowa jest niesamowicie przydatna w analizie konstrukcji. Pomaga sprawdzić, czy wprowadzony model jest poprawny i pozwala na dużą optymalizację rozwiązania. Dziś omówię podstawy tej analizy – nie teorię, lecz aspekty praktyczne.

Czego się dziś dowiesz

Wyjaśnię, co tak naprawdę robi analiza geometrycznie nieliniowa. Obiecuję, że nie będzie tu złożonej teorii. Zamiast tego będą proste przykłady z życia wzięte.

Oczywiście wybrałem takie przykłady, które w analizie liniowej i nieliniowej dają różne wyniki. Istnieją również przykłady, dla których oba podejścia dają praktycznie takie same rezultaty. Należy jednak pamiętać, że istnieje wiele takich przypadków, które wymagają podejścia nielinowego i właśnie tymi będziemy zajmować się dzisiaj.

Nim przejdziemy do tematu chciałem Ci powiedzieć że organizuję niedługo szkolenia z projekotwania konstrukcji stalowych (w Poznaniu i w Krakowie) i z nieliniowego MES (w Katowicach). Kto wie… może Cię zainteresują : )

Grunt to dobrze zacząć: Pranie!

Uwielbiam proste życiowe przykłady. Jeśli chodzi o analizę nieliniową, jej ideę najlepiej obrazuje sznurek z praniem.

Geometrically linear analysis

Spójrz na rysunek powyżej. Mokry sweter waży… 5 kg? Zakładając, że sznurek ma długość 5 m, możemy obliczyć moment zginający (0.0625 kNm). Wydaje się być mały, prawda? Weźmy jednak pod uwagę, że sznurek ma 5 mm średnicy (zakładając, że to naprawdę mocny sznurek… mój ma około 3…). Jego wskaźnik na zginanie wynosi więc ok. 0.0123 cm^3. Oznacza to, że gdyby sznurek chciał przenieść obciążenie od swetra za pomocą zginania, musiałby wytrzymać naprężenia 0.0625kNm/1.23e-8 m^3 = 5081MPa… czyli 20 razy większe, niż wytrzymuje stal.

Kiedy patrzę na mój sznurek od prania, raczej wątpię, by mógł przenieść takie naprężenia… a jednak ciągle działa.

Przytoczony tu przykład to typowe liniowe podejście do problemu. Być może zauważyłeś, że mój przykład trochę oszukiwał – nie narysowałem żadnego ugięcia. W rzeczywistości łatwo byłoby je obliczyć. Gdyby sznurek był zrobiony ze stali (to założenie nieco odległe od rzeczywistości), ugięcie wyniosłoby… 20.2 m.

Pomyśl tylko, jak bardzo biedny sznurek musiałby się rozciągnąć, żeby się tak odkształcić (pięciometrowy sznurek uginający się 20 m?!). To zagadnienie przybliża nas do idei analizy nielinowej, która stosuje teorię dużych ugięć.

Kiedy sznurek staje się nieliniowy

Sznurek nie może się wydłużyć o 20.2 m, jak to wyszło z podejścia linowego. Trochę się jednak wydłuży. Jak pewnie wiesz, to wydłużenie spowoduje powstanie siły rozciągającej w sznurku. Z kolei ta siła będzie stabiliozwać cały układ, zmniejszając ugięcie.

Geometrically nonlinear analysis - basic example

Obliczając ugięcie zgodnie z teorią dużych ugięć, otrzymamy wynik 57 mm (zakładając ciągle, że mamy stalowy sznurek). Dla nylonu ugięcie to wyniosłoby ok. 237 mm, natomiast siła osiowa wyniosłaby 0.26 kN (dla stali wynosi 1.07 kN).

Łatwo mogę uwierzyć, że mój sznurek jest w stanie przenieść w ten sposób jakieś 26 kg.

Jak działa analiza geometrycznie nieliniowa?

Geometrically nonlinear analysis - how does membrane state works

Spójrz na schemat powyżej. Załóżmy, że przecinamy sznurek na środku. Jest tam siła osiowa N (którą przed chwilą obliczyliśmy) ciągnąca sznurek “do środka”. W związku z tym w ścianie, w której jest umocowany sznurek, pojawia się pozioma reakcja również równa N. Obie siły tworzą parę sił, która może przenosić moment. Jest to pewne uproszczenie, dobrze jednak opisuje, co się tak naprawdę dzieje.

Łatwo można sprawdzić to, co napisałem. W obliczeniach liniowych otrzymaliśmy moment zginający 0.0625 kNm. W analizie nielinowej ugięcie 57 mm i siła osiowa 1.07 kN dają nam 0.057 m x 1.07 kN = 0.061 kNm. W przypadku nylonowego sznurka mamy natomiast 0.237 m x 0.26 kN = 0.0616 kNm. Oba wyniki nie zgadzają się idealnie, ale są dość bliskie, co po prostu pokazuje, jak należy myśleć o tym zagadnieniu.

Co należy zapamiętać odnośnie stanu cięgnowego:

  • Im większe odkształcenie, tym mniejsze siły osiowe (to dlatego w nylonowym sznurku spadła siła).
  • Teoretycznie wszystko dąży, by odkształcić się jak najmocniej w celu redukcji obciążeń.
  • Istnieje jednak ograniczenie tego, jak mocno element może się odkształcić. Materiał ma pewien moduł Younga, a przekrój poprzeczny ma określone pole i moment bezwładności. Dlatego odkształca się tyle, ile może, a następnie się zatrzymuje.
  • Jeśli odkształcenia są “małe”, belka (trudno nazwać to sznurkiem, ponieważ jest sztywna) będzie przenosić duże momenty zginające i małe siły osiowe. Dokładnie jak w analizie liniowej.
  • Jeśli odkształcenia są “duże”, moment zginający będzie mały, natomiast siły osiowe duże.
  • Zjawisko to jest oczywiście “ciągłe”, więc jeśli odkształcenia są “średnie”, występuje i trochę zginania, i trochę rozciągania.

Uwaga! Jest i haczyk!

W tym miejscu ktoś mógłby dojść do wniosku, że analiza nieliniowa ma tylko pozytywne aspekty, więc jej “ignorowanie” jest po stronie bezpiecznej. Niestety trzeba pamiętać:

W projektowaniu nic nigdy nie jest za darmo

Tutaj “płacimy” za ten miły efekt cięgnowy (który zwiększa nośność sznurka), otrzymując siłę rozciągającą w podporach. Chcesz sprawdzić, że to prawda? Spróbuj powiesić pranie na sznurku, który nie jest przymocowany do ściany, tylko leży swobodnie na stole. Dla typowej belki nie byłby to problem (stół wciąż przenosi siły pionowe). Ale wszyscy intuicyjnie wiemy, jak skończy się taki eksperyment.

Jest to też ostateczny dowód na to, że w podporach pojawia się wyrywanie – w końcu to ono właśnie sprawia, że system działa.

Charakter analizy geometrycznie nieliniowej

Geometryczna nieliniowość nie jest ani ściśle pozytywna, ani negatywna… po prostu jest!

Difference between linear and geometrically nonlinear analysis

Wyobraź sobie, że masz sznurek z praniem oparty na dwóch słupach. Jeśli przeanalizujesz ten problem w sposób liniowy, otrzymasz wyniki “złe” albo przynajmniej “konserwatywne”. Jest to spowodowane tym, że siły, które wyznaczysz w podejściu linowym, będą znacznie przeszacowane. Oznacza to, że zaprojektujesz sznurek bezpiecznie, ale bardzo konserwatywnie.

Z drugiej strony dla słupów podejście liniowe jest bardzo optymistyczne. Pokaże ono jedynie siły pionowe, całkowicie pomijając poziome. Oznacza to, że pominięte zostanie zginanie słupów.

Jak widać, geometryczna nieliniowość “pomaga” sznurkowi i “obciąża” słupy. Niestety nie da się wybrać, czy chce się jej używać, czy nie… te zjawiska po prostu tu są!

Tutaj potrzebne jest słowo komentarza. Zakładając, że wykonujemy linową statykę, projektujemy sznurek tak, by był w stanie przenieść moment zginający (obliczony jak dla belki). W takim przypadku nie mamy już do czynienia ze “sznurkiem”, a raczej z “belką”. To z kolei prowadzi do znacznego zmniejszenia deformacji i sił osiowych obciążających słupy. Być może w takim przypadku siły osiowe byłyby nawet pomijalnie małe, wciąż jednak by były.

Dlatego obliczenia statyczne są możliwe:

Jeśli odkształcenia w modelu są małe, również efekty geometrycznej nieliniowości będą niewielkie. Jedynym problemem jest to, że czasami trudno zgadnąć, czy deformacje są “wystarczająco małe”, by zignorować geometryczną nieliniowość.

W tym przykładzie warto jeszcze coś zauważyć. Jeśli słupy byłyby mocno obciążone siłą pionową, odkształcenia obserwowane w analizie nieliniowej spowodowałyby wzrost mimośrodu w słupach. To z kolei wywołałoby ich dodatkowe zginanie (nazywane często zginaniem drugiego rzędu), co w niektórych przypadkach może być bardzo istotne. To również jest efekt geometrycznej nieliniowości.

Podsumowując

Analiza geometrycznie nieliniowa jest bardzo przydatnym narzędziem w obliczeniach statycznych. Jeśli masz do czynienia z elementami, które się sporo odkształcają, jest to najlepsze podejście. Jeśli analizujesz przypadek, w którym podejście liniowe jest wystarczające, z analizy nieliniowej otrzymasz takie same wyniki jak z analizy liniowej. Jeśli jednak zadanie wymaga użycia analizy nielinowej, nie da się jej zastąpić liniową.

Analiza nieliniowa świetnie sprawdza się też w przypadkach zginania drugiego rzędu, gdzie odkształcenia modelu powodują zwiększenie sił prostopadłych wywołujących dodatkowe zginanie.

W obliczeniach statycznych popularny jest również dylemat dotyczący liniowej/nieliniowej analizy wyboczeniowej, mocno związana z zagadnieniami analizy geometrycznie linowej/nieliniowej. Temat ten opisałem w innym miejscu. Tutaj skupiłem się głownie na naprężeniach.

Darmowy kurs MES!

Jeśli udało mi się zainteresować Cię tematem koniecznie zapisz się na darmowy kurs o MES i stateczności:

Wstęp do stateczności i MES


18 komentarzy

  1. Piotr Wrzesień 29, 2017 at 7:38 am - Reply

    Bardzo fajne wytłumaczenie analizy nieliniowej 🙂 Jednak można wytłumaczyć trudne przypadki prostymi przykładami:) Pozdrawiam

    • Łukasz Skotny Październik 7, 2017 at 4:00 am - Reply

      Cześć Piotr 🙂

      Cieszę się że post przypadł Ci do gustu! Dzięki za miłe słowa 🙂

      Pozdr
      Ł

  2. Piotr Październik 28, 2017 at 9:56 am - Reply

    Super artykuł! Czapka z głowy 🙂 Pozdrawiam.

    • Łukasz Skotny Październik 28, 2017 at 10:35 am - Reply

      Cześć Piotr!

      Strasznie się cieszę że Ci się podobał – zawsze miło to usłyszeć 🙂

      Pozdr
      Ł

  3. Wojtek Listopad 29, 2017 at 12:32 pm - Reply

    Również uważam że to super proste wytłumaczenie zasady działania bardziej skomplikowanego mechanizmu. Tak się powinien zaczynać wykład z analizy nieliniowej na studiach:)

    • Łukasz Skotny Listopad 29, 2017 at 3:52 pm - Reply

      Cześć…

      … gdzieś ty studiował! Ja nie miałem wykładów z nieliniowych analiz… (chyba :P)

      Cieszę się że Ci się podoba. Uważam że dosłownie wszystko da się tak wytłumaczyć 😛 Z resztą takich artykułów jest więcej – będę je jakoś sukcesywnie podsyłał 😛

      Pozdr
      Ł

  4. Daria Styczeń 9, 2018 at 11:03 pm - Reply

    Witam,
    Super wytłumaczenie zagadnień, które studentom sprawiają wielkie trudności. Twoje podejście jest przykładem na to, że najtrudniejsze zagadnienia da się w prosty sposób wytłumaczyć nie używając przy tym stosu wzorów odwracających uwagę. Jak byłoby pięknie jakby na studiach Wykładowcy w tak przystępny sposób tłumaczyli nie proste zagadnienia….

    • Łukasz Skotny Styczeń 10, 2018 at 9:24 am - Reply

      Cześć Daria!

      Bardzo mi miło to słyszeć – cieszę się że post Ci się spodobał.

      Z Uczelniami to długi temat… lekko nie jest to prawda, ale są przecież ludzi którzy uczą naprawdę świetnie. Czasem jednak trzeba się ich naszukać : )

      Pozdrawiam serdecznie
      Ł

  5. Szymon Styczeń 24, 2018 at 12:56 pm - Reply

    Zacząłem od manuala zsoilu i skończyłem na tym blogu. Jest świetny 😉

    Pozdrawiam!

    • Łukasz Skotny Styczeń 26, 2018 at 11:28 am - Reply

      Cześć Szymon!

      Cieszę się że blog Ci się podoba 🙂

      Pozdr
      Ł

  6. Q Sierpień 14, 2018 at 8:42 pm - Reply

    Witam!

    Na wstępie gratuluje bloga, bo takie podejście pozwala na odczarowanie uniwersyteckiego podejścia do nauczania, które niestety miałem okazje przerobić i przeboleć. Całe szczęście na swojej drodze spotkałem kilku wykładowców którzy pokazali że można inaczej, a Ty Łukaszu robisz to samo i to jeszcze na blogu – chwała Ci za to! Jako że zaczynam projektować stal w MESie, a nie chcę robić tego po łebkach (na zasadzie wrzucania danych bez zrozumienia jak wpływają one na obliczenia i otrzymane wyniki) jest to pomoc nieodzowna i oszczędzająca wiele czasu i nerwów.

    Odnośnie wpisu – po przeczytaniu nasuwa mi się jedno pytanie, a mianowicie czy słuszne jest stwierdzenie, że gdybyśmy bardzo znacząco zmniejszyli działającą siłę (bez zmiany rozstawu podpór i przekroju sznurka) to sznurek będzie pracował jak belka – tj. będzie przenosił moment gnący bo odkształcenie od działającej siły będzie zmierzało do 0. I ogólniej – to czy element przenosi moment gnący i małe siły osiowe lub mały moment gnący i duże siły osiowe zależy od cech geometrycznych, cech materiałowych, warunków podparcia ale również od tego jakie siły na niego działają?

    Pozdrawiam,
    Q

    • Łukasz Skotny Sierpień 17, 2018 at 2:45 pm - Reply

      Hej!

      Dzięki za miłe słowa. Pytanie które stawiasz jest super – jedno z lepszych jakie dotej pory przeczytałem 🙂

      Tak, gdybyś mega zmniejszył obciążenia sznurek byłby belką… tylko że z ciężarem własnym niewiele zrobisz, więc jest “praktyczny limit” tego jak długo to działa. Po prostu w pewnym momencie już sam ciężar własny wystarcza… nawet jak nie ma w ogóle obciążenia, no i tutaj już zmniejszanie obciążenia nic nie da :p

      Geometryczna nieliniowość to złożona sprawa, i zależy od wielu rzeczy, na pewno od cech geometrycznych, również od materiału (choć raczej nie granicy plastyczności… no chyba że coś ci się zacznie uplastyczniać gdzieś po drodze :P). Zdecydowanie istotne są warunki podparcia (ostatecznie swobodnie odparta belka z przesuwem z jednej strony… nigdy się nie uciągli, bo nie ma jak!).

      Co do obciążeń to o ile mówimy o ich wartościach, to w zasadzie one nie odgrywają roli… chodzi jedynie o to że przy “małych” obciążeniach wyniki z analizy liniowej i nieliniowej są do siebie bardzo zbliżone 🙂

      pozdr
      Ł

  7. Maciek Wrzesień 7, 2018 at 9:58 am - Reply

    Witam:)
    po raz kolejny gratuluję świetnego bloga i prostego wyjaśnienia skomplikowanej sprawy. Mam tylko jeden mały problem. Nie do końca rozumiem tylko czym jest ta magiczna teoria dużych ugięć. Albo stwierdzono, że na studiach mechanicznych tego uczyć nie trzeba albo pechowo musiałem ominąć jakiś wykład. Czy mógłbyś mi podać jakąś książkę, link… gdzie odkryję tą tajemnicę?

    Pozdrawiam

    • Łukasz Skotny Wrzesień 7, 2018 at 1:59 pm - Reply

      Hej!

      Uj… z książką to bym nie rysykował 😛 Znaczy zawsze możesz spróbować Crisfielda (Nonlinear analysis of soils and structures)… ale to bolesne doświadczenie o ile mi wiadomo 🙂

      No więc ta teoria dużych ugięć to jest właśnie to, co sprawia że masz geometrycznie nieliniową analizę. Oczywiście tam są dodatkowe zagadnienia jak duży strain czy duże kąty, ale ogólnie jak to włączysz to masz nieliniową geometrię, a jak nie to masz liniową 🙂

      pozdr
      Ł

      • Maciek Wrzesień 11, 2018 at 6:18 am - Reply

        Chodzi mi w jaki sposób obliczyłeś ugięcie równe 57 mm. Analitycznie ( są na to jakieś konkretne wzory) , czy za pomocą programu ?

        • Łukasz Skotny Wrzesień 11, 2018 at 6:40 am - Reply

          Hej!

          Nie no, liczyłem to za pomocą programu oczywiście. 🙂 Wydaje mi się że akurat taki temat jak ten sznurek dałoby się ogarnąć analitycznie (są krzywe ugięć kabli opisane), ale po co się tak męczyć? Wprowadzasz to do programu, robisz geometrycznie nieliniową analizę i… świętujesz zwycięstwo 🙂

          Pozdr
          Ł

  8. Maciek Wrzesień 11, 2018 at 6:53 am - Reply

    i wszystko jasne, myślałem że się nie na studiach czegoś nie douczyłem 🙂 Dziękuję za wyjaśnienie 🙂
    Pozdrawiam

    • Łukasz Skotny Wrzesień 11, 2018 at 7:21 am - Reply

      🙂

Leave A Comment

Do NOT follow this link or you will be banned from the site!