Analiza geometrycznie nieliniowa – jak to działa?

Analiza geometrycznie nieliniowa jest niesamowicie przydatna w analizie konstrukcji. Pomaga sprawdzić, czy wprowadzony model jest poprawny i pozwala na dużą optymalizację rozwiązania. Dziś omówię podstawy tej analizy – nie teorię, lecz aspekty praktyczne.

Czego się dziś dowiesz

Wyjaśnię, co tak naprawdę robi analiza geometrycznie nieliniowa. Obiecuję, że nie będzie tu złożonej teorii. Zamiast tego będą proste przykłady z życia wzięte.

Oczywiście wybrałem takie przykłady, które w analizie liniowej i nieliniowej dają różne wyniki. Istnieją również przykłady, dla których oba podejścia dają praktycznie takie same rezultaty. Należy jednak pamiętać, że istnieje wiele takich przypadków, które wymagają podejścia nielinowego i właśnie tymi będziemy zajmować się dzisiaj.

Grunt to dobrze zacząć: Pranie!

Uwielbiam proste życiowe przykłady. Jeśli chodzi o analizę nieliniową, jej ideę najlepiej obrazuje sznurek z praniem.

Spójrz na rysunek powyżej. Mokry sweter waży… 5 kg? Zakładając, że sznurek ma długość 5 m, możemy obliczyć moment zginający (0.0625 kNm). Wydaje się być mały, prawda? Weźmy jednak pod uwagę, że sznurek ma 5 mm średnicy (zakładając, że to naprawdę mocny sznurek… mój ma około 3…). Jego wskaźnik na zginanie wynosi więc ok. 0.0123 cm^3. Oznacza to, że gdyby sznurek chciał przenieść obciążenie od swetra za pomocą zginania, musiałby wytrzymać naprężenia 0.0625kNm/1.23e-8 m^3 = 5081MPa… czyli 20 razy większe, niż wytrzymuje stal.

Kiedy patrzę na mój sznurek od prania, raczej wątpię, by mógł przenieść takie naprężenia… a jednak ciągle działa.

Przytoczony tu przykład to typowe liniowe podejście do problemu. Być może zauważyłeś, że mój przykład trochę oszukiwał – nie narysowałem żadnego ugięcia. W rzeczywistości łatwo byłoby je obliczyć. Gdyby sznurek był zrobiony ze stali (to założenie nieco odległe od rzeczywistości), ugięcie wyniosłoby… 20.2 m.

Pomyśl tylko, jak bardzo biedny sznurek musiałby się rozciągnąć, żeby się tak odkształcić (pięciometrowy sznurek uginający się 20 m?!). To zagadnienie przybliża nas do idei analizy nielinowej, która stosuje teorię dużych ugięć.

Kiedy sznurek staje się nieliniowy

Sznurek nie może się wydłużyć o 20.2 m, jak to wyszło z podejścia linowego. Trochę się jednak wydłuży. Jak pewnie wiesz, to wydłużenie spowoduje powstanie siły rozciągającej w sznurku. Z kolei ta siła będzie stabiliozwać cały układ, zmniejszając ugięcie.

Obliczając ugięcie zgodnie z teorią dużych ugięć, otrzymamy wynik 57 mm (zakładając ciągle, że mamy stalowy sznurek). Dla nylonu ugięcie to wyniosłoby ok. 237 mm, natomiast siła osiowa wyniosłaby 0.26 kN (dla stali wynosi 1.07 kN).

Łatwo mogę uwierzyć, że mój sznurek jest w stanie przenieść w ten sposób jakieś 26 kg.

Jak działa analiza geometrycznie nieliniowa?

Spójrz na schemat powyżej. Załóżmy, że przecinamy sznurek na środku. Jest tam siła osiowa N (którą przed chwilą obliczyliśmy) ciągnąca sznurek „do środka”. W związku z tym w ścianie, w której jest umocowany sznurek, pojawia się pozioma reakcja również równa N. Obie siły tworzą parę sił, która może przenosić moment. Jest to pewne uproszczenie, dobrze jednak opisuje, co się tak naprawdę dzieje.

Łatwo można sprawdzić to, co napisałem. W obliczeniach liniowych otrzymaliśmy moment zginający 0.0625 kNm. W analizie nielinowej ugięcie 57 mm i siła osiowa 1.07 kN dają nam 0.057 m x 1.07 kN = 0.061 kNm. W przypadku nylonowego sznurka mamy natomiast 0.237 m x 0.26 kN = 0.0616 kNm. Oba wyniki nie zgadzają się idealnie, ale są dość bliskie, co po prostu pokazuje, jak należy myśleć o tym zagadnieniu.

Co należy zapamiętać odnośnie stanu cięgnowego:

• Im większe odkształcenie, tym mniejsze siły osiowe (to dlatego w nylonowym sznurku spadła siła).
• Teoretycznie wszystko dąży, by odkształcić się jak najmocniej w celu redukcji obciążeń.
• Istnieje jednak ograniczenie tego, jak mocno element może się odkształcić. Materiał ma pewien moduł Younga, a przekrój poprzeczny ma określone pole i moment bezwładności. Dlatego odkształca się tyle, ile może, a następnie się zatrzymuje.
• Jeśli odkształcenia są „małe”, belka (trudno nazwać to sznurkiem, ponieważ jest sztywna) będzie przenosić duże momenty zginające i małe siły osiowe. Dokładnie jak w analizie liniowej.
• Jeśli odkształcenia są „duże”, moment zginający będzie mały, natomiast siły osiowe duże.
• Zjawisko to jest oczywiście „ciągłe”, więc jeśli odkształcenia są „średnie”, występuje i trochę zginania, i trochę rozciągania.

Uwaga! Jest i haczyk!

W tym miejscu ktoś mógłby dojść do wniosku, że analiza nieliniowa ma tylko pozytywne aspekty, więc jej „ignorowanie” jest po stronie bezpiecznej. Niestety trzeba pamiętać:

W projektowaniu nic nigdy nie jest za darmo

Tutaj „płacimy” za ten miły efekt cięgnowy (który zwiększa nośność sznurka), otrzymując siłę rozciągającą w podporach. Chcesz sprawdzić, że to prawda? Spróbuj powiesić pranie na sznurku, który nie jest przymocowany do ściany, tylko leży swobodnie na stole. Dla typowej belki nie byłby to problem (stół wciąż przenosi siły pionowe). Ale wszyscy intuicyjnie wiemy, jak skończy się taki eksperyment.

Jest to też ostateczny dowód na to, że w podporach pojawia się wyrywanie – w końcu to ono właśnie sprawia, że system działa.

Charakter analizy geometrycznie nieliniowej

Geometryczna nieliniowość nie jest ani ściśle pozytywna, ani negatywna… po prostu jest!

Wyobraź sobie, że masz sznurek z praniem oparty na dwóch słupach. Jeśli przeanalizujesz ten problem w sposób liniowy, otrzymasz wyniki „złe” albo przynajmniej „konserwatywne”. Jest to spowodowane tym, że siły, które wyznaczysz w podejściu linowym, będą znacznie przeszacowane. Oznacza to, że zaprojektujesz sznurek bezpiecznie, ale bardzo konserwatywnie.

Z drugiej strony dla słupów podejście liniowe jest bardzo optymistyczne. Pokaże ono jedynie siły pionowe, całkowicie pomijając poziome. Oznacza to, że pominięte zostanie zginanie słupów.

Jak widać, geometryczna nieliniowość „pomaga” sznurkowi i „obciąża” słupy. Niestety nie da się wybrać, czy chce się jej używać, czy nie… te zjawiska po prostu tu są!

Tutaj potrzebne jest słowo komentarza. Zakładając, że wykonujemy linową statykę, projektujemy sznurek tak, by był w stanie przenieść moment zginający (obliczony jak dla belki). W takim przypadku nie mamy już do czynienia ze „sznurkiem”, a raczej z „belką”. To z kolei prowadzi do znacznego zmniejszenia deformacji i sił osiowych obciążających słupy. Być może w takim przypadku siły osiowe byłyby nawet pomijalnie małe, wciąż jednak by były.

Dlatego obliczenia statyczne są możliwe:

Jeśli odkształcenia w modelu są małe, również efekty geometrycznej nieliniowości będą niewielkie. Jedynym problemem jest to, że czasami trudno zgadnąć, czy deformacje są „wystarczająco małe”, by zignorować geometryczną nieliniowość.

W tym przykładzie warto jeszcze coś zauważyć. Jeśli słupy byłyby mocno obciążone siłą pionową, odkształcenia obserwowane w analizie nieliniowej spowodowałyby wzrost mimośrodu w słupach. To z kolei wywołałoby ich dodatkowe zginanie (nazywane często zginaniem drugiego rzędu), co w niektórych przypadkach może być bardzo istotne. To również jest efekt geometrycznej nieliniowości.

Podsumowując

Analiza geometrycznie nieliniowa jest bardzo przydatnym narzędziem w obliczeniach statycznych. Jeśli masz do czynienia z elementami, które się sporo odkształcają, jest to najlepsze podejście. Jeśli analizujesz przypadek, w którym podejście liniowe jest wystarczające, z analizy nieliniowej otrzymasz takie same wyniki jak z analizy liniowej. Jeśli jednak zadanie wymaga użycia analizy nielinowej, nie da się jej zastąpić liniową.

Analiza nieliniowa świetnie sprawdza się też w przypadkach zginania drugiego rzędu, gdzie odkształcenia modelu powodują zwiększenie sił prostopadłych wywołujących dodatkowe zginanie.

W obliczeniach statycznych popularny jest również dylemat dotyczący liniowej/nieliniowej analizy wyboczeniowej, mocno związana z zagadnieniami analizy geometrycznie linowej/nieliniowej. Temat ten opisałem w innym miejscu. Tutaj skupiłem się głownie na naprężeniach.

Darmowy kurs MES!

Jeśli udało mi się zainteresować Cię tematem koniecznie zapisz się na darmowy kurs o MES i stateczności. Możesz się do niego zapisać poniżej: