(function(w,d,s,l,i){w[l]=w[l]||[];w[l].push({'gtm.start': new Date().getTime(),event:'gtm.js'});var f=d.getElementsByTagName(s)[0], j=d.createElement(s),dl=l!='dataLayer'?'&l='+l:'';j.async=true;j.src= 'https://www.googletagmanager.com/gtm.js?id='+i+dl;f.parentNode.insertBefore(j,f); })(window,document,'script','dataLayer','GTM-5M6SH59');
18 minut czytania
22 listopada 2016

Jak policzyć sztywność połączenia podatnego

18 minut czytania

ostatnim poście pisałem o tym, jak sprawdzić, czy połączenie jest prawdziwym przegubem. Dzisiaj założymy, że analizowane przez nas połączenie pomiędzy belkami jest podatne i skupimy się na tym, jak wyznaczyć jego sztywność. Umiejętność ta okazuje się użyteczna, gdy zachodzi potrzeba bardzo precyzyjnego projektowania konstrukcji.

Jeśli kiedykolwiek próbowałeś policzyć sztywność połączenia zgodnie z EN 1993-1-8, wiesz już, ile oznacza to pracy (o ile w ogóle jest w danym przypadku możliwe). Tutaj omówimy łatwiejszą drogę opartą na metodzie elementów skończonych.

Wstęp

Jest to już drugi post poświęcony zagadnieniom sztywności połączeń prezentowanym podczas pierwszych warsztatów dla studentów PWr, które miałem przyjemność organizować z Olą Kociołek (z Dlubal Polska). Dzisiaj zostaną tu omówione metody FEA szacowania sztywności połączeń.

Główne zagadnienia związane ze sztywnością połączeń:

  • Jak sprawdzić, czy projektowane połączenie jest przegubem?
  • Jak wyznaczyć sztywność połączenia podatnego?
  • Jak uwzględnia się sztywność połączeń w obliczeniach statycznych?
  • Jak określić, czy sztywność połączeń ma istotny wpływ na wykonywane obliczenia?

Typy połączeń ze względu na sztywność

Zanim przejdziemy do obliczeń MES, ważne jest, by omówić, jakie istnieją typy połączeń ze względu na sztywność. Zrozumienie tego zagadnienia ułatwi nam późniejszą pracę. Prawidłowa ocena typu połączenia bardzo ułatwia przeprowadzenie prawidłowej analizy.

  • Sztywne – tych połączeń nie będziemy tu rozważać, w ich przypadku nie ma czego obliczać.
  • Przegubowe – o tym pisaliśmy wcześniej – jeśli połączenie zapewnia swobodę obrotu przez cały czas, nie ma sensu analizować nic więcej.
  • Liniowo podatne – to najłatwiejszy z analizowanych przypadków. Należy tu po prostu w parametrach węzła zdefiniować sztywność (lub inaczej „sprężystość”) w kNm/rad. Większość dzisiejszych programów obliczeniowych standardowo bierze dane tego typu pod uwagę. Na ogół sztywność połączenia przedstawiana jest w nich za pomocą wykresu zależności momentów zginających (na osi pionowej) i obrotów w węźle (na osi poziomej). Poniżej pokazane są wykresy dla wszystkich typów sztywności.
  • Liniowo podatne z poślizgiem – druga możliwość, dość często spotykana w połączeniach ścinanych, które dodatkowo przenoszą moment zginający. Węzeł może się swobodnie obracać do momentu wykasowania luzów w połączeniu. Zjawisko to nazywane jest często poślizgiem.
  • Liniowo podatne „ze sztywnym początkiem” i poślizgiem – ten typ jest często spotykany w połączeniach sprężanych. Kiedy kończy się początkowa sztywność połączenia, pojawia się poślizg. Zgodnie z normami, na tym etapie połączenie uznaje się za zniszczone. Połączenia sprężane przenoszą moment za pomocą tarcia pomiędzy łączonymi blachami. Na początku nie ma w nich żadnego ruchu (zachowują się jak połączenia sztywne). Pojawia się on dopiero, gdy zostaną przekroczone siły tarcia (nośność na poślizg). W kolejnym etapie nie tylko tarcie przenosi siły w połączeniu. Do pracy włączają się też śruby (teoretycznie wzrasta więc nośność, pomimo że tarcie kinetyczne jest na ogół mniejsze od statycznego). Warto pamiętać o tym zjawisku, nawet jeśli w praktyce jest rzadko używane (normy nie dopuszczają pracy połączenia po poślizgu). Współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego mogą mieć różne lub podobne wartości, w zależności od analizowanego materiału. Na wykresach poniżej przedstawiono pracę połączenia w dwóch przypadkach: kiedy współczynniki te są sobie równe (a więc po poślizgu nie następuje spadek nośności) oraz kiedy bierze się pod uwagę różnicę pomiędzy tarciem statycznym i kinetycznym – stąd można zaobserwować spadek nośności po przekroczeniu siły tarcia.
  • Nieliniowo podatne – we wszystkich przedstawionych wyżej przypadkach można zauważyć, że w końcowej części każdego wykresu (kiedy rozpoczyna się ścinanie śrub w połączeniu) istnieje liniowa zależność pomiędzy obrotem i momentem zginającym. W połączeniu nieliniowo podatnym sytuacja taka nie ma miejsca, nawet jeśli bardzo często jest przedstawiana w taki uproszczony sposób (na ogół przedłuża się po prostu pierwszą, liniową część wykresu, wiedząc, że połączenie nie osiągnie „wypłaszczonej” części – w takiej sytuacji to uproszczenie jest poprawne). W wielu przypadkach ścieżka równowagi statycznej połączenia wygląda tak, jak ta przedstawiona poniżej. Pokazano na niej jeden z przypadków nieliniowości (związaną z uplastycznianiem materiału). Należy po prostu pamiętać, że jeśli chce się skorzystać z wykresu w części „nie-sprężystej”, należy najpierw bardzo dokładnie sprawdzić nośność śrub i blach połączenia. Istnieje wiele możliwości analizy MES tego typu połączeń (niektóre z nich są bardzo skomplikowane). Zazwyczaj nie są one tak naprawdę potrzebne (podane wyżej uproszczenia są wystarczające), jednak w rzadkich przypadkach okazują się przydatne.

Oczywiście omówione wyżej przypadki to tylko wierzchołek góry lodowej. Ponieważ mówimy o sztywności połączenia, a nie o jego nieliniowości (co stanowi znacznie szerszy temat), możemy pominąć różnice w nośności dla dodatnich i ujemnych kątów obrotu. Nie będziemy również poruszać kwestii nieskuteczności połączenia w jednym z kierunków, ani jego dopuszczalnych obciążeń.

Jak obliczyć sztywność połączenia

W tym poście wykorzystam ten sam model połączenia ścinanego, którego użyłem poprzednio. Wiem już, że ten węzeł pozwoli na pewien niewielki obrót, po czym zacznie być podatny w sposób, który można w uproszczeniu traktować jako liniowy. Mając to na uwadze, wiem, że potrzebny mi będzie wykres dla połączenia liniowo podatnego z poślizgiem.

Oczywiście moglibyśmy stworzyć doskonały model z kontaktami, aby uzyskać pełen wykres z jednej analizy… jest to jednak bardzo czasochłonne i jeszcze nigdy nie analizowałem w ten sposób połączeń liniowo podatnych z poślizgiem (zbyt dużo pracy, za mały zysk). Znacznie łatwiej jest oszacować swobodny obrót (tak jak zrobiliśmy to wcześniej), a następnie oddzielnie obliczyć sztywność połączenia.

Aby to zrobić, należy zamodelować wszystkie blachy połączenia ze śrubami jako elementami sztywnymi. Na ogół otwory w blachach wypełniam nieskończenie sztywnymi powierzchniami (o średnicy równej średnicy śruby). Model taki jest stosunkowo łatwy, zarówno jeśli chodzi o jego tworzenie, jak i obliczanie. Warto pamiętać, że pozwalamy w nim na pewne oszustwo: sztywna powierzchnia przenosi zarówno ściskanie, jak i rozciąganie, śruba natomiast przenosi jedynie ściskanie (przez naprężenia kontaktowe)… oznacza to, że nie otrzymamy dokładnej wartości nośności połączenia ani dokładnej sztywności, jednak do szybkiego szacowania sztywności takie wyniki powinny wystarczyć. Oczywiście można pobawić się kontaktami i utworzyć bardziej dokładny model… ale im bardziej zagłębia się w problem, tym więcej trzeba, aby go zakończyć. Z powodu ograniczeń czasowych zazwyczaj nawet taka uproszczona metoda weryfikacji sztywności traktowana jest jako „luksus”.

Zacznijmy więc od geometrii. Należy pamiętać, że zmieniłem część przekroju wspornika na elementy płytowe z odpowiednimi grubościami. Dzięki temu będę miał jak mocować śruby. Ma to też dodatkową zaletę – mogę wziąć pod uwagę samo ukształtowanie wspornika pod połączenie (podcięcie górnej półki i fragmentu półki dolnej). Belka poprzeczna zamodelowana jest w całości z elementów prętowych, natomiast w jej środku zrobiłem „obrys” z elementów sztywnych (odpowiadający rozmieszczeniu półek i środnika) w taki sposób, bym miał jak zamodelować żebro przyspawane do tej belki (gdybym nie zrobił tego sztywnego „obrysu”, żebro byłoby zamocowane tylko w jednym węźle, tam gdzie stykałoby się z elementem prętowym – to oczywiście nie mogłoby dać dobrego wyniku).

Warto też zwrócić uwagę na to, że obrys przekroju, w którym kończą się elementy belkowe a zaczynają powłokowe we wsporniku, również wykonany jest ze sztywnych elementów (w kształcie dwuteownika, jak widać powyżej). Podobnie jak w przypadku żebra, można nie stosować tych elementów, ale wtedy belka zamiast łączyć się z „całym przekrojem” utworzonym z elementów płytowych, łączyłaby się jedynie z jednym punktem na środniku. Wpływ takiego połączenia widać na rysunku poniżej:

Powyżej pokazano połączenie pomiędzy elementem prętowym (po lewej) i płytowym odpowiednikiem tego samego przekroju. Pierwszy przypadek dotyczy sytuacji, w której nie zastosowano sztywnych elementów na obrysie. W środkowym przypadku dodano jedynie elementy sztywne na środniku, a w przypadku dolnym elementy sztywne znajdują się na całym obrysie przekroju. Warto zwrócić uwagę na wartości w MPa na kolorowej skali – są bardzo nierównomiernie rozłożone, by dało się za pomocą jednej skali pokazać naprężenia we wszystkich trzech przypadkach (różnica w wartości naprężeń Hubera – Misesa w skrajnych przypadkach to ok 1500x!).

Jak wspomniałem wcześniej, śruby modelowane są w taki sposób, że otwory „wypełnione są” nieskończenie sztywnymi płytami, które z kolei łączy się za pomocą sztywnych elementów prętowych między sobą (sztywną płytę w otworze w środniku wspornika ze sztywną płytą w otworze w żebrze belki poprzecznej). Można oczywiście zamiast elementów sztywnych modelować śrubę jako rzeczywisty jej przekrój, ale nie zawsze jest to wskazane. Tworząc model, przyjąłem odległość pomiędzy płytą środnika a płytą żebra wynikającą z grubości obu elementów (kilka milimetrów). Oznacza to, że gdybym zamodelował śrubę jako przekrój – przekrój ten byłby zginany. W rzeczywistości takie zjawisko nie występuje, stąd używanie sztywnych elementów jest w mojej ocenie lepszym pomysłem.

Z tak przygotowanym modelem możemy wykonać proste obliczenia statyczne, by zaobserwować odkształcenia w modelu:

Zastanówmy się teraz, co wpływa na odkształcenia uzyskane powyżej:

  • Sztywność połączenia
  • Ugięcie belki wspornika
  • Skrętna deformacja belki poprzecznej

Teraz musimy zdecydować, które elementy z listy powyżej chcemy brać pod uwagę. Oczywistym jest, że ugięcie samego wspornika nie powinno się znaleźć w wynikach, choć przy takim modelu wartość ta będzie minimalna. Jeśli chcemy być dokładni, możemy zniwelować ten wpływ, zastępując belkę wspornika elementem sztywnym. Uzyskamy wtedy wyniki widoczne poniżej:

Teraz musimy zdecydować, czy chcemy w sztywności uwzględniać skrętne deformacje belki poprzecznej. To zależy od tego, czy będziemy chcieli policzyć sztywność połączenia pomiędzy belkami, czy sztywność „podparcia” wspornika (gdzie połączenie z belką poprzeczną traktujemy jako podporę). Dla sztywności połączenia nie chcemy oczywiście uwzględniać sztywności skrętnej belki – w „ostatecznym” modelu ta belka nadal tam będzie, zatem będzie się też odkształcać. Uwzględnienie tego odkształcenia również w sztywności połączenia sprawiłoby, że uzyskalibyśmy zbyt duże deformacje.

Z drugiej strony, jeśli chcemy „uprościć” model i przyjąć, że zamocowanie w belce poprzecznej jest „podporą” dla wspornika, jak najbardziej powinniśmy uwzględnić skrętną sztywność belki – nieuwzględnienie tej wartości jest zresztą jednym z częstszych błędów pojawiających się z uproszczonych modelach. W przypadku uproszczania modelu uwzględniamy sztywność rotacyjną belki, bowiem nie będzie jej w „finalnym” modelu, a zatem jej odkształcenia nie będą wyznaczane… muszą być zatem uwzględnione w sztywności zamocowania.

Gdy liczmy odkształcenia, które chcemy uwzględniać przy wyznaczaniu sztywności połączenia, powinniśmy uwzględniać jedynie parametry, które później zostaną usunięte z finalnego uproszczonego modelu. Pozostałe elementy (jak np. wspornik w tym przypadku) powinny być traktowane jak elementy sztywne. Ich odkształcenia zostaną bowiem uwzględnione już na etapie obliczeń finalnego modelu.

Sztywność połączenia jako podpory wspornika

Załóżmy wstępnie, że celem tej analizy jest wyznaczenie sztywności podpory wspornika. Chcemy zatem wyznaczyć taką sztywność połączenia, która zamodelowana jako sztywność podpory pozwoli nam na wymiarowanie wspornika bez belki poprzecznej w modelu. W związku z tym odkształcenia skrętne belki poprzecznej powinny zostać uwzględnione, bowiem nie będzie jej w finalnym modelu, a nie możemy ich tak po prostu „zignorować”. Z wykonanych poprzednio obliczeń wiemy, że wspornik przemieszcza się o 6.9 mm. Jako że znamy geometrię styku, łatwo jest wyznaczyć moment w samym połączeniu (od przyłożonego obciążenia jednostkowego). W tym przykładzie przyłożono siłę 1 kN, a jej ramię wynosi 1.175 m. Moment w połączeniu wynosi zatem 1.175 kNm.

Kąt obrotu da się łatwo wyznaczyć (to proste zadanie z trygonometrii: jeśli długość to 1175 mm, a koniec przemieścił się w dół o 6.9 mm, to tan(6.9/1175)  = 0.350 → zatem kąt wynosi 0.336 stopni lub 0.00587 rad). Obie wartości (kąt obrotu i moment) pozwalają na wyznaczenie sztywności połączenia wynoszącej tutaj 1.175 / 0.336 = 3.50 kNm/deg (lub 200.1 kNm/rad). Gdy zatem taką sztywność wprowadzimy jako sztywność podpory, uzyskamy takie same przemieszczenia ja w modelu z belką poprzeczną:

W modelu powyżej wprowadzono wspornik jako belkę (a nie element sztywny), przemieszczenia odpowiadają tym uzyskanym w pierwszym prezentowanym w tym poście modelu.

Sztywność samego połączenia

Jeśli chcielibyśmy zamodelować połączenie pomiędzy wspornikiem a belką poprzeczną o odpowiedniej sztywności (przy czym oba elementy pozostałyby w modelu), zależałoby nam na wyznaczeniu sztywności samego połączenia. Jako że belka poprzeczna nadal będzie w modelu statycznym, jej skrętne odkształcenia „same się policzą” gdy będziemy liczyć ostateczny model. Zatem w tym przypadku, chcemy zastąpić belkę poprzeczną sztywnymi elementami. Możemy to zrobić na dwa sposoby: albo fizycznie zmienić elementy belki poprzecznej na sztywne, albo po prostu usunąć tę belkę a żebro z modelu traktować jako podparte na krawędziach które mocowane są do belki poprzecznej. Zdecydowałem się na to drugie rozwiązanie, zatem zastępczy model wygląda jak przedstawiono poniżej:

Widać tutaj wyraźnie, że skrętna sztywność belki poprzecznej ma zdecydowany wpływ na przemieszczania – samo połączenie pozwala bowiem na znacznie mniejsze odkształcenia. Warto też zauważyć, że podobnie jak ostatnio zastosowano przy wyznaczaniu przemieszczenia do liczenia sztywności sztywny element zamiast przekroju wspornika.

Uzyskany wynik to 0.4mm (czyli w zasadzie każda wartość pomiędzy 0.35 a 0.45mm). Przy tak małych wartościach dokładność oszacowania znacznie by spadła. Najłatwiej jest zatem zwiększyć liczbę cyfr znaczących wyświetlanych w wynikach. W tym przypadku wartość wynosi 0.3570mm:

W tym momencie możemy już po prostu policzyć sztywność połączenia dokładnie w ten sam sposób jak ostatnio. Wynik jest oczywiście znacznie większy (nie uwzględniamy bowiem skrętnej deformacji belki poprzecznej). Dla naszego zadania sztywność wynosi 3867 kNm/rad. Ustawienie tej sztywności pozwala na otrzymanie poprawnych deformacji w modelu który składa się zaledwie z dwóch belek (i łączącego je sztywnego elementu który pozwala na uwzględnienie mimośrodu w połączeniu:

Jako że zamodelowane połączenie ma odpowiednią sztywność, nie ma potrzeby modelowania elementów płytowych, śrub itp. Wystarczy jedynie znać wartość sztywności i można uzyskać poprawne wyniki. Zastosowanie takiej metody ma sens, gdy podobnych połączeń w modelu jest wiele – raz wyznaczamy sztywność połączenia (wcale nie zajmuje to bardzo dużo czasu), a później jedynie wprowadzamy uzyskaną sztywność w odpowiednich połączeniach. Podejście takie znacząco zmniejsza czas potrzebny na obliczenia i upraszcza model.

Nie zapominajmy o poślizgu!

W tym miejscu obliczeń łatwo jest zapomnieć o poślizgu. Wyznaczyliśmy już sztywność połączenia, jednak „działa” ona jedynie gdy śruby zaczną dociskać do ścianek otworów (po obu stronach połączenia). Ostatnio omówiłem jak wyznaczyć wartość „swobodnego obrotu” w połączeniu zanim dojdzie do sytuacji w której można uznać że połączenie zaczyna pracować jako podatne. W tym przykładzie ten kąt to 1.1721 deg (0.0205 rad). Oznacza to, że zanim nasze połączenie zacznie realnie przenosić obciążenie, pozwoli na obrót tej wielkości, co zdecydowanie wpłynie na przemieszczenia:

Dla tak prostego przypadku łatwo jest „ręcznie” sprawdzić poprawność uzyskiwanych wyników. Maksymalne przemieszczenie to 32.1mm, a poprzednio dla połączenia bez poślizgu uzyskano przemieszczenia 7.1mm. Różnica (24.1mm) odpowiada przemieszczeniu końca belki o długości 1.175m gdy obrócimy ją o kąt 0.0205 rad.

Podsumowanie

W tym przydługim wpisie omówiłem metodę, której używam, by oszacować sztywność połączeń. Jak wspomniałem to jedynie uproszczone rozwiązanie, które nieco oszukuje, niemniej pozwala na szybkie uzyskanie przybliżonych wyników. Jak pokazano na omawianym tu przykładzie, jeśli możliwy jest poślizg w połączeniu, nie powinien on być raczej pomijany. Może się nawet zdarzyć tak, że występujący poślizg dopuszcza tak duży obrót, że nigdy nie nastąpi przenoszenie jakiegokolwiek momentu w danym połączeniu (czyli będzie się ono zachowywało jak zwykły przegub). Kwestę tę poruszałem w ostatnim wpisie. W nadchodzących postach pisał będę o wpływie sztywności połączeń na wyniki obliczeń statycznych oraz o tym, kiedy ta sztywność jest istotna, a kiedy można ją zignorować.

Przedstawiona tu metoda jest oczywiście uproszczona i nie będzie działała „zawsze”: np. w przypadku połączeń czołowych pojawia się problem kontaktu przekazującego ściskanie, metoda ta nie uwzględnia również sprężania śrub itp. Zagadnienia te można oczywiście rozwiązać, ale wymaga to nieco bardziej zaawansowanych modeli. Poruszę te kwestie w przyszłości (być może stworzę nawet kurs on-line jak sobie radzić w takich sytuacjach).

Chcesz nauczyć się więcej?

To wspaniale! Przygotowałem dla Ciebie darmowy kurs o MES i stateczności! Aby go pobrać wystarczy się zapisać poniżej:

Autor: Łukasz Skotny Ph.D.

Mam ponad 10 lat doświadczenia w praktycznym wykorzystaniu MES w projektowaniu (prowadzę własne biuro projektowe), a do tego przez dekadę byłem wykładowcą na Politechnice Wrocławskiej. Obecnie tutaj dzielę się swoją wiedzą z inżynierii i MES dzięki kursom oraz na blogu!

Dowiedz się więcej

Stateczność konstrukcji stalowych da się lubić...

Zapisz się na darmowy kurs ze stateczności

Comments (4)

Cezary - 2021-10-10 18:44:43

Szanowny autorze,
Artykuł jest bardzo ciekawy, ale niestety obrazy się nie wyświetlają, a bez nich treść jest niekompletna. Czy można to naprawić? :) dziękuję!

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2021-10-13 20:02:31

Cześć!

Dzięki za info - okazuje się że jak przenosiliśmy stronę to parę rzeczy się źle podpieło... będziemy to sukcesywnie naprawiać, ale obecne projekty mają priorytet :)

Pozdr!
Ł

Reply
Konrad - 2017-11-26 20:04:14

Cześć Łukasz,
na wstępie gratuluję ciekawego prowadzenia bloga na trudne tematy inżynierskie.
Widzę, że sprawdzenie sztywności połączeń może być też wykonalne za pomocą programów proponujących obliczenia w zakresie liniowo-sprężystym na elementach powłokowych (np. Robot).
Jednak w halach częstymi połączeniami są połączenia doczołowe (węzeł okapowy, kalenicowy), które chyba do dobrego oszacowania podatności wymagają analizy materiałowo-nieliniowej? Czy może da się je też dobrze oszacować w Robocie liniowo-sprężystą analizą?
Pytanie też czy przeprowadzając takie analizy nie powinniśmy się martwić lokalną utratą stateczności elementów składowych węzła (czy może z reguły węzeł jest na tyle sztywny, że można to pominąć)?
Pozdrawiam

Reply
Łukasz Skotny Ph.D. - 2017-11-26 21:45:54

Cześć Konrad :)

Dzięki, dzięki - cieszę się że blog się podoba.

Co do Twojego pytania to luksusu raczej nie ma. Rzeczywiście uplastycznienie od jakiegoś poziomu obciążenia będzie istotne. Eurokod do połączeń (EN 1993-1-8) w swoich założeniach we wzorkach ma że do 2/3 nośności węzła jest liniowo, później już nie. Ale przeliczenie to "prosty wzorek" - jeśli by mu zaufać można by policzyć liniowo sprężyście węzeł a później sztywność zredukować ze wzorku z EC... Ja w RFEM mogę sobie liczyć też plastycznie więc nie musiałem się z tym pałować wcześniej.

Co do stateczności - niby jest na to szansa, ale o ile styk na oko wygląda "dobrze" to chyba bym się aż tak tym nie martwił. Jak rzeczy są w klasie 1 lub 2 to nie powinno być w ogóle problemów - nie wiem jak grube blachy stosujesz :)

Pozdr
Ł

Reply

Zapisz się na mój Newsletter

otrzymasz darmowy kurs ze stateczności konstrukcji stalowych