Wpływ warunków brzegowych na obliczenia statyczne

Każdego dnia przyjmujemy uproszczenia dotyczące warunków brzegowych, by ograniczyć czas obliczeń. Wszyscy zdajemy sobie sprawę, że podpory mają krytyczne znaczenie dla prowadzonych analiz, ale rzadko sprawdza się rzeczywisty wpływ warunków brzegowych na konstrukcję. Dlatego w dzisiejszym poście pokazuję, jak drastyczny może być wpływ warunków brzegowych na projekt! Zagadnienie to omówię na podstawie projektu, który właśnie skończyłem robić.

Warunki brzegowe na YouTube

Zrobiłem wideo dla tego posta (w języku angielskim), a poniżej jest wersja pisana 

Poniżej tego artykułu możesz zapisać się na wspomniany w wideo darmowy kurs MES.

Wersja pisana 

Niedawno skończyłem projekt dla klienta (i jednocześnie przyjaciela). Dzięki jego uprzejmości mogę wykorzystać to zlecenie jako studium przypadku. Z wielu interesujących problemów występujących w tym projekcie wybrałem zagadnienie warunków brzegowych, jako że są one jednym z najpopularniejszych problemów.

Model, którego będę używać, ma zwodniczo proste warunki podparcia… to sprawia, że jest idealnym przypadkiem do omówienia potencjalnych błędów!

Z czym mamy do czynienia

Projekt, który wykonywałem, dotyczył 20 typowych lejów pracujących w niemieckich zakładach. Każdy lej leży na betonowej płycie. Oznacza to, że podparcie wygląda stosunkowo prosto: belka obwodowa jest podparta w pionie na całej powierzchni. Ta strefa podparcia została oznaczona kolorem czarnym na rysunku poniżej. W takim układzie wykonywanie połączeń montażowych jest trudne, dlatego założyłem, że nie ma żadnych zakotwień. W lejach występuje spore obciążenie – tarcie belki obwodowej o płytę poradzi sobie z wszelkimi poziomymi ruchami, więc lej nigdzie nie ucieknie 

Zacznijmy od prawidłowych warunków brzegowych

Zazwyczaj poprawna odpowiedź znajduje się na końcu, ale hej, mogę chyba zacząć od dobrych wiadomości od czasu do czasu?

Jest dość oczywiste, że warunki podparcia to przypadek kontaktu. Dół belki oparty jest na stalowej płycie osadzonej w betonie. Podparcie to bez problemu przenosi siły ściskania, nie przenosi natomiast rozciągania.

Kontakt w nieliniowej analizie może oznaczać problemy ze zbieżnością, dodatkową pracę itd. Zwykle jednak projektuję dokładnie i nigdy nie żałuję zainwestowanego czasu!

Powyżej widać rozkład naprężeń von Misesa w modelu. Sprawdziłem w kilku miejscach odkształcenia plastyczne itp., ale nie jest to tu najważniejsze. Ważne jest, by zapamiętać, jak wygląda rozkład naprężeń zwłaszcza w strefie przypodporowej. Będzie jeszcze kilka modeli z nie tak dobrze dobranymi warunkami brzegowymi. Będziesz mógł zobaczyć, jak zmienią się wtedy wyniki.

Aby ułatwić porównanie, pokażę też ścieżkę równowagi statycznej węzła w narożu belki podporowej:

Podeprzyjmy na całej powierzchni!

Myślę, że to byłoby jedno z najprostszych przybliżeń. Zamiast tracić czas na definiowanie kontaktów i analizę zbieżności, zawsze można założyć podparcie na całej dolnej półce, które będzie przenosić zarówno ściskanie, jak i rozciąganie. Trzeba przyznać, że nie ma tu problemów z siłami poziomymi – są na tyle małe, że spokojnie zostaną przeniesione przez siły tarcia. Jednak założenie, że nasze podpory mogą przenosić rozciąganie, to ogromny błąd! Spójrz tylko, jak zmieniły się wyniki!

Przyjrzyj się dokładnie naprężeniom w belce obwodowej – dosłownie jest ona nieobciążona! Gdybym przyjął takie warunki, nigdy nie dowiedziałbym się, że belkę tę trzeba wzmocnić na skręcanie. Ten model po prostu tego nie pokazuje. Jeśli zastanawiasz się, co się stało z tym obciążeniem (jak to było już kiedyś mówione, prawda?), spójrz na 3 żebra (zaznaczone kółkiem). Wcześniej nie były zbyt mocno obciążone… teraz praktycznie wisi na nich całe obciążenie leja… tak bardzo, że analiza ledwo się zbiega przy pełnym obciążeniu. Odkształcenia plastyczne są w tych elementach zbyt duże, by przeprowadzić analizę dalej (po przekroczeniu mnożnika obciążeń 1).

Poniżej przedstawione są ścieżki równowagi statycznej węzła w rogu belki podporowej. Zauważ, że ścieżka ledwo osiąga wartość 1. Powyżej tej wartości były już zbyt duże problemy ze zbieżnością, by dalej prowadzić obliczenia.

Całe obciążenie przechodzi przez środnik – więc podeprzyjmy go!

To kolejny „ciekawy” pomysł. Jest to też często używany sposób. Obciążenie w tak opartej belce na ogół przechodzi przez jej środnik. Czasami więc (tylko czasami!), jeśli założysz, że podpora jest w tym regionie, otrzymasz dobre wyniki. Tutaj jednak pomysł ten nie zadziałał! Podparcie leja pod środnikiem powoduje powstanie ogromnego mimośrodu pomiędzy lejem a podporą. To z kolei powoduje olbrzymie skręcanie belki podporowej. Na rysunku poniżej łatwo można zobaczyć, że belka podporowa została skręcona tuż po wzmocnieniu, które wcześniej było wystarczające!

Ścieżka równowagi statycznej węzła w narożu znajduje się poniżej. Widać na niej, że nośność spadła – odkształcenia są większe przy stosunkowo małym obciążeniu.

A co, jeśli chwilę pomyślę, zamiast zgadywać?

Istnieje jedno rozsądne podejście. Zakłada ono, że mam wystarczająco dużo doświadczenia, by prawidłowo odgadnąć rozkład sił w strefie podparcia. W takim przypadku zrozumiałbym, że belki podporowe będą skręcane i będą się obracać. To z kolei doprowadziłoby do wniosku, że tak naprawdę stoją one jedynie na swoich wewnętrznych krawędziach. Należałoby więc tam zamodelować podporę.

Jedyną rzeczą, która powstrzymała mnie przed zrobieniem tego w projekcie, jest jedno zjawisko. W prostokątnych płytach obciążonych pionowo w dół naroża odkształcają się do góry (pojawia się więc odrywanie). Nie byłem pewien, czy pierścień leja będzie wystarczająco sztywny, by przenieść to obciążenie. Kiedy nie jestem pewien, zawsze wybieram bezpieczne podejście, dlatego też zamodelowałem kontakt. Równie dobrze mógłbym podeprzeć krawędzie belki i sprawdzić, czy siła reakcji w narożach jest ujemna. Jednak w takiej sytuacji i tak ryzykowałbym kontakt (przy twierdzącej odpowiedzi na to pytanie).

Na wykresie poniżej można zobaczyć, że nośność takiego modelu nie jest dokładnie taka sama jak modelu wyjściowego. Mój instynkt się nie pomylił – w narożach pojawia się ujemna reakcja, która nieco stabilizuje model. To dlatego model wydaje się być sztywniejszy (na ścieżce równowagi statycznej) niż model z poprawnymi warunkami brzegowymi. W tym momencie mógłbym łatwo przeprowadzić iteracje i zabrać liniową podporę z miejsc, gdzie jest ona wyrywana… oznaczałoby to jednak sporo pracy (ponieważ jest to proces iteracyjny). Zrobienie podpory za pomocą kontaktu było szybsze.

Co warto zapamiętać:

• Warunki brzegowe nawet w najprostszych przypadkach mają olbrzymi wpływ na wyniki analizy!
• Zły dobór warunków brzegowych może prowadzić do znacznego niedoszacowania obciążeń w części konstrukcji.
• Zawsze warto robić sprawdzenia, gdy korzystamy z uproszczeń przy przyjmowaniu warunków brzegowych – tak jak ja sprawdzałem, czy w narożach występuje ujemna reakcja (czy moje założenia są prawidłowe).

Pierwsze kroki z MES

Jeśli jesteś zainteresowany nauką MES zapisz się na darmowy kurs o MES i stateczności. Możesz się do niego zapisać poniżej: