Wredne spiętrzenia naprężeń – szczera dyskusja

Niedawno Arjen zapytał mnie o spiętrzenia naprężeń. Istnieje kilka artykułów na ten temat (jest to dość powszechny problem). Chcę jednak wnieść coś do tej dyskusji.

Spiętrzenia naprężeń – podstawy

Jestem pewien, że słyszałeś już o tym problemie, więc będzie zwięźle. Spiętrzenie naprężeń to miejsce, w którym naprężenia są „teoretycznie nieskończone”. Najbardziej znany przykładem jest tu siła skupiona. Jeśli przyłożysz ją do punktu (nie do powierzchni), naprężenia są nieskończone (siła dzielona jest przez zerowe pole). Istnieją też oczywiście inne przykłady:

• Siła w punkcie
• Warunki brzegowe w punkcie (podpora punktowa)
• Ostre wewnętrzne naroże
• Kontakt w ostrym narożu

Zauważ, że nie jest to taka zwykła koncentracja naprężeń. Wiele kształtów geometrycznych sprzyja koncentracjom w ich obszarze. Nie chcę zagłębiać się tu w szczegóły, ale generalnie problemy takie mają „skończoną odpowiedź”. Oznacza to, że w przypadku koncentracji naprężeń da się uzyskać zbieżność wyniku wraz z zagęszczaniem siatki MES. Jeśli interesuje Cię, jak prawidłowo zagęszczać siatkę MES, zajrzyj na mój bezpłatny kurs podstawowego MESa (w języku angielskim).

Kiedy pojawia się problem ze spiętrzeniem naprężeń, możesz myśleć o nim jako o „brzydkim bracie koncentracji naprężeń”.

Nie ma znaczenia, jak bardzo będziesz zmniejszać siatkę, naprężenia będą rosły cały czas!

Jak działają spiętrzenia naprężeń

Muszę przyznać, że miałbym problem z wyjaśnieniem tego problemu z wewnętrznym narożem. To pewnie jedna z tych rzeczy, które tracę z moim nastawieniem do uczenia się matematyki do MESa. Jeśli natrafiłeś na jakieś ciekawe przemyślenia w tym temacie, podziel się, proszę, linkiem w komentarzach (lub też własnymi przemyśleniami). Chętnie poczytam o tym więcej 🙂

Tutaj użyję przykładu obciążenia punktowego, bo jest on najprostszy do tłumaczenia (i rysowania!).

Może gdzieś już o tym słyszałeś: Elementy MES nie istnieją! Elementy opisują mniej lub bardziej, jak połączone są węzły (z równaniami). Wygodnie jest narysować elementy, ale w rzeczywistości solver widzi połączone ze sobą węzły. Wyobraź to sobie w ten sposób: siatka składa się z węzłów połączonych sprężynami!

Jest to dość istotne tutaj! Widzisz, kiedy przykładasz siłę do węzła, to tak naprawdę nie obciążasz „punktu”. Obciążasz „przestrzeń” wokół tego węzła. Jako że nasz model składa się z węzłów i przestrzeni między nimi, otrzymanie wyników jest nieco zawiłe. To, co możesz zobaczyć na ekranie, to mniej lub bardziej uśrednione wartości przypisane do najbliższych węzłów. Mówiąc prosto, obciążasz węzeł i „część” każdego elementu przy tym węźle.

Teraz sprawa jest prosta. Jeśli elementy są „duże”, obszar „przypisany” do węzła również jest duży. Mamy siłę dzieloną przez to „pole”, co daje nam naprężenia, które widzimy w wynikach analizy. Koniec końców – jak często widujesz nieskończoność na skali wyników?

Stąd już niewiele brakuje, żeby to wszystko zrozumieć. Jeśli zmniejszysz elementy siatki, obszar „przypisany” do obciążonego węzła również się zmniejszy. Jako że siła jest wciąż taka sama, natomiast przy zmniejszaniu siatki zmniejsza się „przypisany obszar”… naprężenia wciąż rosną. Ten proces nigdy się nie zbiegnie! Im bardziej zmniejszysz siatkę MES, tym większe naprężenia uzyskasz!

Ciekawostka: Jeśli kobieta ważąca 60 kg stoi na jednym obcasie (o rozmiarze 0,5 x 0,5 cm), naprężenia pod obcasem wynoszą 24 MPa. To wystarczająco, by rozbić betonową powierzchnię (przynajmniej ze średniego i słabego betonu)… co – jak wiemy, tak naprawdę się nie zdarza!

Typowe rozwiązania

To popularny problem i można znaleźć wiele sugestii, jak sobie z nim radzić. Przedstawię je poniżej razem z moimi komentarzami:

• Zignoruj spiętrzenie: to jedna z częstszych rad. Jest w tym jakiś pomysł. Zasada Saint Venanta uczy, że jeśli znajdujemy się „wystarczająco daleko” od źródła naprężeń, wszystko jest ok. Zawsze jednak miałem z tym problem. To, co powoduje koncentrację naprężeń, jest przecież rzeczywiste, prawda? Zgadzam się, że obciążenie tak naprawdę nie znajduje się w punkcie (tak jak w modelu), a raczej jest przyłożone do pewnego małego obszaru. Tak czy inaczej, ono tam jest. Powinniśmy więc oczekiwać w tym miejscu większych naprężeń. Jasne, że nie powinny być one nieskończone, nie oznacza to jednak, że można je zignorować. Myślę, że to częsty błąd. Ludzie po prostu ignorują wyniki w pobliżu spiętrzenia naprężeń, nie zastanawiając się nad tym, co tak naprawdę dzieje się w tym obszarze.
• Dodaj powierzchnię: to rozsądne wyjście, nie można go jednak stosować cały czas. Jeśli masz obciążenie na małej powierzchni, zamodeluj je po prostu w ten sposób. Rozwiązuje to problem. Kłopoty pojawić się mogą przy modelowaniu, bo metoda nie jest zbyt „praktyczna”. To samo możesz zrobić w przypadku podpór – jest to jednak nieco trudniejsze z powodu warunków brzegowych.
• Zamodeluj wyokrąglenie: tej metody wyjątkowo nie lubię. Myślę, że to ogólna odpowiedź na problem z wewnętrznym narożem. Na ogół tłumaczy się to tak: „Nie da się zrobić idealnie kąta 90 stopni – zawsze jest jakieś zaokrąglenie. Zamodeluj je więc!”. Doskonale rozumiem, że to prawda. Praktycznie jest to jednak kompletna utopia. Jeśli masz element o rozmiarze 10 x 10 m i analizujesz go w całości, dodanie 0.1 mm wyokrąglenia (z odpowiednią siatką w tym obszarze) nie jest już tak wspaniałym rozwiązaniem, jak mogłoby się wydawać. Oczywiście są przypadki, gdy jest to jedyna możliwa metoda. Po prostuj nie stosuj je jako metody domyślnej.
• Zrób oddzielny mniejszy model: w niektórych przypadkach ma to sporo sensu. Jeśli analizujesz duży model i musisz sprawdzić w nim jakiś szczegół… po prostu zrób dokładny mały model tego szczegółu. Pamiętaj jednak, że na ogół trudno jest przypisać odpowiednie warunki brzegowe do takich wyciętych elementów, musisz być więc bardzo ostrożny.
• Użyj nieliniowego materiału: to naprawdę dobra opcja. Naprężenia zostaną ograniczone przez granicę plastyczności i po prostu otrzymasz odkształcenia plastyczne. W miejscu spiętrzenia naprężeń mogą być one co prawda bardzo duże, na ogół jednak powinny być na „akceptowalnym” poziomie. Możliwe, że to „najtańszy” sposób, jeśli chodzi o czas, jednak to również jest coś, czego nie da się używać cały czas.

Do rozważenia

Łatwo zauważyć, że problem jest dość skomplikowany. Dlatego też jest tak wiele podejść! Bez wątpienia każdy z nich jest przydatny, inaczej nie pojawiałyby się w tych wszystkich artykułach (również w moich).

Powiedziałbym, że jest kilka wyjątkowych przypadków, w których trzeba zachować szczególną ostrożność. Szczególną uwagę chcę zwrócić na zmęczenie. Jeśli rozwiązujesz problem ze zmęczeniem, spiętrzenia naprężeń sprawią, że zakręci Ci się w głowie. Nie możesz ich po prostu zignorować (ma to krytyczne znaczenie dla bezpieczeństwa!), nie możesz też wykorzystać uplastycznienia (chyba że sprawdzasz zmęczenie niskocyklowe).

Oznacza to zwykle, że w przypadku zmęczenia robienie małych wyokrągleń i przykładanie obciążenia do powierzchni naprawdę ma zastosowanie nawet w dużych modelach. Warto wspomnieć ponownie, że w wielu przypadkach dobrym pomysłem może się okazać stworzenie osobnego bardziej szczegółowego modelu. Zachowaj po prostu ostrożność w kwestii warunków brzegowych.

Podsumowanie

Postaram się podsumować to, co dziś napisałem:

• Spiętrzenia naprężeń są wynikiem uproszczonego modelowania (co jest całkowicie uzasadnione).
• Robienie dokładniejszych modeli rozwiązuje ten problem (wymaga jednak czasu… czasami zbyt wiele).
• Pomocny może być mniejszy model potrzebnych detali. Należy jednak ostrożnie dobierać warunki brzegowe w takich zadaniach.
• Wyniki „wystarczająco daleko” od spiętrzenia naprężeń są ok – zgodnie z zasadą Saint Venant’a.
• Ignorowanie wyników spiętrzeń naprężeń jest dość powszechnie stosowaną metodą. Nie należy tego jednak robić. Na ogół efekty spiętrzenia są rzeczywiste (program je jedynie przeszacowuje). Ignorowanie wyników w tym obszarze jest więc ryzykowne.
• Na ogół zastosowanie nieliniowego materiału oznacza, że w obszarze spiętrzeń materiał się uplastyczni. Rozwiązuje to problem „nieskończonych naprężeń”. Odkształcenia plastyczne w tym obszarze mogą być jednak bardzo wysokie i należy je sprawdzać.

Jest także spoiler. Zastanawiam się nad uproszczoną metodą radzenia sobie z tym problemem. Muszę przedyskutować to z kilkoma osobami (mądrzejszymi i bardziej doświadczonymi). Jeśli mi się powiedzie, napiszę o tym wkrótce 🙂

Chcesz nauczyć się więcej?

Jeśli interesujesz się MESem, możesz dowiedzieć się kilku przydatnych rzeczy z mojego darmowego kursu – zapisz się na niego poniżej.