Ręczna weryfikacja wyników MES: stateczność

Ostatnio opisywałem 5 kroków do weryfikacji wyników MES. Pośród tych kroków znalazła się weryfikacja wyników MES za pomocą ręcznych obliczeń. Uznałem, że warto rozwinąć tę myśl, zwłaszcza, że Luke przysłał mi na maila związane z tym pytania.

Pytania Luke’a:

• Jak obliczane są wartości własne, czy można policzyć je samodzielnie?
• Czy analizę LBA można przeprowadzić ręcznie? Rozumiem, że program wskaże obszar, w którym niszczy się konstrukcja i obszary najbardziej wytężone, ale czy można uzyskać wartość bez programu komputerowego?

Zagłębmy się więc nieco w weryfikacji wyników MES za pomocą ręcznych obliczeń. Aby o tym porozmawiać (i odpowiedzieć na pytanie Luke’a), musimy przede wszystkim zastanowić się, co i po co robimy.

Czy mogę rozwiązać moje zadanie za pomocą ręcznych obliczeń?

To bardzo dobre pytanie! Powinieneś zadać je sobie, zanim jeszcze zaczniesz tworzyć model. Powód jest prosty:

Jeśli możesz łatwo rozwiązać problem za pomocą ręcznych obliczeń, nie rób obliczeń MES!

Po prostu dlatego, że w większości przypadków MES zajmie Ci więcej czasu niż ręczne obliczenia. Istnieją oczywiście sytuacje, w których działanie takie ma sens. Może chcesz sprawdzić swoje ręczne obliczenia? Albo masz do zaprojektowania setki podobnych elementów (w takim przypadku MES + dobry skrypt będą ogromną pomocą!).

Z reguły jednak lepiej jest łatwe problemy rozwiązywać ręcznie. Po prostu zajmuje to mniej czasu!

Wydaje się to oczywiste, jest też jednak druga część tej prawdy, która jest nieco trudniejsza do zauważenia:

Fakt, że wykonujesz obliczenia MES najprawdopodobniej oznacza, że nie ma łatwego rozwiązania problemu!

Brzmi to nieco pesymistycznie, ale bez obaw – to jeszcze nie koniec dzisiejszego posta.

MES pomaga, gdy nie ma łatwego rozwiązania

Oczywiście nie wszystkie problemy da się rozwiązać za pomocą prostych równań. W rzeczywistości większość problemów praktycznych nie ma zamkniętego rozwiązania matematycznego. W końcu właśnie po to stworzono MES, prawda?

Powiedziałbym, że istnieją 2 możliwości:

• Problem, który starasz się rozwiązać w ogóle nie ma zamkniętego matematycznego rozwiązania.
• Zadanie ma rozwiązanie matematyczne, ale rozwiązanie to jest niedokładne albo wymaga dużego nakładu pracy (lub też oba naraz!).

W takich sytuacjach MES promienieje! Pozwala on nam obliczyć coś, czego bez jego pomocy policzyć się nie da (a przynajmniej jest bardzo trudno). Oznacza to jednak, że nie da się łatwo zweryfikować uzyskiwanych wyników. A przynajmniej nie wszystkie wyniki i nie naraz.

Wiedząc to, zastanówmy się, co faktycznie MOŻEMY zrobić 🙂

Uprość problem, żeby „oszacować” wynik

Wiesz już, że najprawdopodobniej nie uda Ci się bezpośrednio zweryfikować wyników MES za pomocą ręcznych obliczeń. Nikt jednak nie mówi, że nie możesz oszacować odpowiedzi. Większość problemów można rozwiązać w mniejszym lub większym stopniu bez użycia MESa. Koniec końców inżynieria istniała, zanim MES stał się powszechnym narzędziem!

Jest całkiem prawdopodobne, że nie uda Ci się uzyskać prawidłowej odpowiedzi. Będziesz jednak w stanie zgadywać, w jakim zakresie ta odpowiedź powinna się mieścić. W ten sposób dowiesz się, czy wynik otrzymany z MESa ma jakikolwiek sens. Jeśli zdobędziesz nieco doświadczenia, nauczysz się przewidywać wyniki z MESa na podstawie ręcznych obliczeń.

Jest to szczególnie prawdziwe, jeśli mówimy o projektowaniu naprężeniowym. Jednak jako że Luke pytał o stateczność, właśnie na tym skupię się dzisiaj. Pamiętaj jednak, że stateczność jest dużo bardziej skomplikowanym tematem. Oznacza to, że większości problemów nie da się uprościć, żeby uzyskać szacunkową odpowiedź. Do weryfikacji wyników naprężeń wrócę przy innej okazji.

Praktyczne oszacowanie: ściskanie powłoki!

Jako że Luke pytał o konkretny problem, zajmijmy się nim tutaj. Pamiętaj jednak, że to, co tu piszę, pasuje również do wielu innych analiz.

W stateczności istnieje kilka zamkniętych rozwiązań (jak pręt Eulera czy powłoka Timoshenki), nie ma ich jednak dużo. Sprawia to, że weryfikacja wyników LBA bywa kłopotliwa.

Rzućmy okiem na problem, który faktycznie ma rozwiązanie – i dlatego może nam dobrze posłużyć!

Przypadek 1: Znane rozwiązanie matematyczne

Przypadki takie nazywam zwykle benchmarkami. Wyobraź sobie, że analizujesz pewien problem. Jeśli znasz zamknięte rozwiązanie matematyczne, nie ma powodu, żeby robić MESa. Chyba, że chcesz sprawdzić, czy otrzymujesz z programu prawidłowe wyniki.

Jednym z takich problemów może być zadanie Timoshenki (równomiernie ściskana powłoka). Naprężenia krytyczne (przy których wybacza się idealna ściskana powłoka) wynoszą:

Łatwo policzyć, że dla powłoki wykonanej ze stali (E=210 GPa) o grubości płaszcza t=1 mm i promieniu r= 500 mm naprężenia krytyczne wynoszą 254 MPa.

Prosta, prawda? Nie potrzebujemy wcale MESa, żeby uzyskać tę odpowiedź. Możesz jednak spróbować rozwiązać ten problem z pomocą MESa. W ten sposób sprawdzisz, czy Twoje metody rozwiązywania podobnych problemów działają.

Możesz zamodelować powłokę i obciążyć ją tak, jak obciążyłbyś w analogicznym zadaniu. Użyj też takich samych ustawień MES jak zwykle itp. Na koniec Twój model powinien wyglądać tak:

Po obliczeniach dostaniesz:

Możesz teraz porównać wyniki z MESa z rozwiązaniem matematycznym i zastanowić się, czy Twój model jest ok. Może siatka MES mogłaby być lepsza albo warto użyć innego typu elementów? Robienie benchmarków pozwala znaleźć odpowiedzi na takie właśnie pytania.

Nie chcę się tu wgłębiać w zagadnienia zbieżności MESa. Jeśli jesteś ciekawy, jak dobrać prawidłowy rozmiar siatki MES, weź udział w moim darmowym podstawowym kursie MES! (w języku angielskim). Możesz się do niego zapisać pod tym artykłuem.

Bez wątpienia wynik, który otrzymałem, jest bliski dokładnej odpowiedzi. Mogę więc być spokojny, że metoda działa. W najgorszym przypadku muszę poprawić nieco ustawień tu i tam.

Dlatego właśnie warto porównywać wyniki z MESa ze znanymi rozwiązaniami. Możesz dzięki temu sprawdzić, czy stosowana metoda działa w tym i podobnych problemach!

Przypadek 2: Nieznane rozwiązanie matematyczne

Jest to, oczywiście, dużo trudniejsza sytuacja. Wiemy już, że LBA może poprawnie policzyć liniowe obciążenie krytyczne powłoki. Możemy założyć, że jeśli modelujemy podobny problem, otrzymamy poprawną odpowiedź:

Jak widzisz, niewiele się zmieniło w naszym zadaniu. Zmieniłem po prostu podporę równomierną po obwodzie na 4 podpory lokalne. Skomplikowało to jednak całe zagadnienie.

Nie ma matematycznego rozwiązania tego problemu i tak po prawdzie niewiele da się tu zrobić.

Mogę jedynie mieć nadzieję, że skoro w pierwszym przypadku algorytm LBA dał mi prawidłową odpowiedź, to tutaj również da. Ręczne sprawdzenie tego problemu nie jest bezpośrednio możliwe. Nie ma uproszonej metody liczenia tej wartości ręcznie.

Jedyne co możesz zrobić, to policzyć nośność powłoki. Nie ma to jednak nic wspólnego z liczeniem LBA. Jeśli jednak obliczymy nośność powłoki, będziemy mogli porównać wynik z MESa z wynikiem otrzymanym z obliczeń według naszych ulubionych norm. Możesz oczekiwać, że nośność otrzymana z MESa będzie o 30-50% większa niż nośność otrzymana z obliczeń normowych (np. EN 1993-1-6). Możesz poczytać o tym więcej tutaj.

Zauważ jednak, ze powyższe sprawdzenie odnosi się do mocno nieliniowego rozwiązania zadania. Niestety, LBA nie da się zweryfikować w ten sposób. Nie ma procedury normowej, która pozwoliłaby na obliczenie liniowego obciążenia krytycznego takiej powłoki.

W przypadku obliczeń naprężeń sprawa wygląda dużo prościej i zdecydowanie więcej da się zweryfikować. To jednak temat na inny post 🙂

W odpowiedzi na pytanie

Da się policzyć część wartości własnych ręcznie (jak zrobiłem to w przykładzie). Niektóre przypadki są już rozwiązane, niestety są to zwykle te najprostsze.

W przypadku powłok – to zadanie Timoshenki. W przypadku ram stalowych – metody Wooda lub Horne’a pozwalają na obliczenie obciążenia krytycznego ramy, a nawet słupów w bardziej skomplikowanych systemach ramowych. Metody te dają zwykle jedynie oszacowania, są one jednak świetne do weryfikacji wyników MES.

Oznacza to, że poszukiwanie uproszczonych rozwiązań podobnych problemów ma sens. Pomogą one w weryfikacji wyników LBA. Nie rozpędzaj się jednak zbytnio i nie poświęcaj zbyt wiele czasu na te poszukiwania. Nie wszystkie problemy mają rozwiązania, możesz więc szukać czegoś, co nie istnieje!

Bardziej skomplikowane problemy stateczności trudno jest zweryfikować. Brakuje metod ręcznych obliczeń, które rozwiązują dane problemy. Jedyne, co zwykle możesz zrobić, to porównać swoją metodę obliczeń MESowych ze znanym rozwiązaniem podobnego problemu.

Oczywiście przy liczeniu MESa możesz napotkać na drodze wiele problemów takich jak studium zbieżności MESa itp. To jednak nic w porównaniu z ręcznymi obliczeniami!

Podsumowując:

• Niektóre obliczenia MES da się zweryfikować za pomocą ręcznych obliczeń.
• W przypadku stateczności (LBA) jest to nieco bardziej skomplikowane, ponieważ trudno jest uprościć model.
• Aby zweryfikować wyniki MES, musisz znać uproszczone rozwiązanie matematyczne. Niestety wiele zagadnień nie ma takich rozwiązań.
• Jeśli rozwiązanie matematyczne jest nieznane, przy weryfikacji analizy stateczności najlepiej jest polegać na benchmarkach, studium zbieżności i doświadczeniu.

Chcesz nauczyć się więcej?

Przede wszystkim, jeśli masz jakieś pytania odnośnie MESa lub konstrukcji stalowych, możesz też zostawić je w komentarzach poniżej lub wysłać poprzez Linkedina. Będę mógł odpowiedzieć na Twoje pytanie, tak jak odpowiedziałem na pytanie Luke’a.

Przygotowałem dla Ciebie kurs z podstaw MES i stateczności. Możesz się do niego zapisać poniżej: