Zamiana sił czynnych na przemieszczenia wymuszone i vice versa

Widziałem już wiele błędów polegających na złej zamianie sił czynnych i przemieszczeń wymuszonych. Czasami zamiana taka jest prostym zadaniem dającym początkującym mylne wrażenie, że nie ma tu żadnych haczyków. Prowadzi to do różnych błędów w trudniejszych analizach.

Dlatego myślę, że warto dziś omówić ten problem.

Jak można obciążyć model

Przy modelowaniu konstrukcji możemy obciążyć nasz model na 2 sposoby:

• Siły/momenty (lub ciśnienie itp.)
• Wymuszenie deformacji (przemieszczeń/kątów obrotów)

W niektórych przypadkach wybór sposobu obciążenia nie ma znaczenia.Uzyskane wyniki będą jednakowe przy obu metodach. Bardzo łatwo wykazać na przykładzie prostej swobodnie podpartej belki, że wyniki nie zależą tu od wyboru metody obciążenia modelu:

Jeśli przemieszczenie wymuszone delta w środku rozpiętości belki jest równe ugięciu belki pod wpływem siły skupionej F, otrzymywane wyniki analiz będą takie same. Tak długo, jak mówimy o łatwych przykładach, łatwo jest też wykazać, że wszystko działa.

Krok 1: schemat statyczny

Stworzyłem 2 modele belek o takich samach przekrojach poprzecznych oraz tej samej długości. Jeden z modeli ma pośrodku dodatkową podporę, która wymusza przemieszczenie węzła w dół. Drugi model ma siłę skupioną (również na środku).

Krok 2: Obliczenia statyczne

Zauważ, że deformacje modelu obciążonego siłą są takie same jak wartość zadanego przemieszczenia na podporze. Ponadto wartość wygenerowanej reakcji w podporze pośredniej odpowiada wartości siły skupionej.

Krok 3: Porównanie wyników

Sprawdzamy wyniki (w tym przypadku moment zginający), żeby pokazać, że wszystko jest w porządku:

Jak widać, wyniki są takie same.

Czy mogę zmienić siły na przemieszczenia wymuszone?

To bardzo ważne pytanie i niestety łatwo jest błędnie je zrozumieć

Generalnie tak, mogę… czasami jednak trudno jest znaleźć potrzebny do tego poprawny kształt wymuszenia deformacji.

Pomyśl o belce obciążonej obciążeniem równomiernie rozłożonym.

Można oczywiście znaleźć zestaw podpór, które po odpowiednim przemieszczeniu dadzą nam „poprawny” kształt deformacji belki. Reakcje na podporach będą równe sumie obciążeń, a otrzymywane wyniki będą takie same jak w przypadku obciążenia siłami.

Znalezienie „poprawnego” kształtu deformacji wymaga jednak ogromu pracy… nie ma więc sensu go szukać.

Najlepiej używać „prawdziwych” obciążeń

Najlepsza rada, jakiej mogę Wam udzielić: używaj rzeczywistych typów obciążeń. W niektórych sytuacjach będziesz w stanie znaleźć odpowiadające siły lub przemieszczenia, zwykle jednak nie ma sensu ich szukać. Jedyna sytuacja, w której działanie takie wydaje się być sensowne, to problemy ze zbieżnością w modelach obciążonych siłami. Zmiana obciążenia z sił na przemieszczenia może pomóc w rozwiązaniu tego problemu.

Dlatego ważne jest, by zrozumieć. kiedy mamy do czynienia z siłami, a kiedy z przemieszczeniami.

Z mojego doświadczenia wynika, że częściej spotykane jest obciążenie siłami. Czasami podejście takie nie jest zgodne z rzeczywistością, jak na przykład w przypadku badań doświadczalnych w laboratorium. Przeanalizujmy więc możliwość „prawdziwego” obciążenia przemieszczeniem.

Wyobraź sobie powłokę obciążoną w kierunku pionowym w maszynie wytrzymałościowej. Schemat pokazałem poniżej.

W pewnym uproszczeniu możemy powiedzieć, że dla modelu po lewej łatwo znaleźć odpowiadające obciążenie. Jeśli płyta obciążeniowa jest sztywna i porusza się w dół, to rozkład obciążeń w powłoce będzie równomierny (dzięki równomiernemu podparciu). Oznacza to, że w modelowaniu wystarczy nam równomierne obciążenie krawędzi powłoki.

W drugim przykładzie (po prawej) mamy nieco inną sytuację. Podczas obciążania płytą obciążeniową górna krawędź powłoki pozostaje płaska. Jeśli jednak w modelu użyjemy obciążenia w postaci równomiernie rozłożonych sił, krawędź ta nie pozostanie płaska. Jest to spowodowane przez występujące w modelu lokalne podpory. Różnice w deformacjach mogą być niewielkie, jednak są. Poniżej możesz zobaczyć rozkład naprężeń w modelu przy przyłożonym obciążeniu równomiernie rozłożonymi siłami (po lewej) oraz przy wymuszeniu przemieszczeniem (po prawej).

Różnice w obu modelach nie są duże, w niektórych przypadkach mogą mieć jednak kluczowe znaczenie.

Żeby uniknąć tego typu problemów, zawsze możesz najpierw obciążyć model przemieszczeniem, odczytać wartości reakcji (uwaga! nie będą one jednakowe!) i przyłożyć je jako obciążenie. Oznacza to jednak, że problem trzeba rozwiązać dwukrotnie!

Podsumowując

Różnica między siłami czynnymi a deformacjami wymuszonymi jest dość śliska. Czasami łatwo jest znaleźć przemieszczenie wymuszone odpowiadające działającej sile (i na odwrót). Zrobiliśmy to w pierwszym przykładzie. W wielu przypadkach nie jest to jednak takie proste, jak było widać w innych przedstawionych tu przykładach.

Siły vs przemieszczenia wymuszone

• W przypadku sił skupionych i przemieszczeń wymuszonych na podporach punktowych łatwo jest znaleźć równoważne przemieszczenie/obciążenie.
• W przypadku równomiernie rozłożonych obciążeń (i ciśnienia) znalezienie równoważnej wymuszonej deformacji jest czasochłonne.
• Tak samo trudno jest znaleźć równoważne obciążenie siłą w przypadku wymuszonych odkształceń zadanych do powierzchni/linii.
• Najłatwiejszym sposobem znalezienia równoważnej siły jest wykonanie modelu z wymuszoną deformacją i odczytanie reakcji modelu.
• Tak samo można zrobić, jeśli poszukujemy równoważnej deformacji.
• Fakt, że obciążenie jest równomierne na jakimś polu / linii nie oznacza, że wymuszone odkształcenia w tym obszarze są stałe. Na ogół wcale nie są!
• Zawsze najłatwiej jest obciążyć model tak, jak konstrukcja jest obciążona „w naturze”. Nie ma wtedy potrzeby szukania równoważnych sił lub przemieszczeń wymuszonych.
• Jeśli związek między obciążeniem a przemieszczeniem nie jest liniowy, równoważne przemieszczenia/siły tracą sens! Podejście takie działa jedynie w analizie liniowej.
• Teoretycznie znalezienie równoważnych odkształceń wymuszonych w analizie nieliniowej jest możliwe. Wymaga to jednak takiego ogromu pracy, że działanie takie jest bez sensu. Takie podejście wymagałoby ponadto znajomości rozwiązania zadania już na starcie. Należy to więc traktować jako „teoretyczną” możliwość.

Co zapamiętać

Podsumowując wszystko jednym krótkim akapitem:

W niektórych prostych przypadkach możliwa jest zamiana obciążeń czynnych na przemieszczenia wymuszone. Na ogół jednak tego typu działania wymagają dużo pracy i są najzwyczajniej w świecie nierozsądne. Najlepiej jest używać typu obciążeń zgodnych z rzeczywistością.

Jest jeszcze jeden wniosek, który już tu dziś napisałem, jest jednak tak ważny, że zrobię to jeszcze raz:

Fakt, że model jest obciążony równomiernymi siłami nie oznacza, że przemieszczenia są również równomierne. To samo dotyczy równomiernych przemieszczeń, które jedynie bardzo rzadko mogą być zamienione na równomierne siły!

 Chcesz uczyć się MESa?

To świetnie. Przygotowałem darmowy kurs wprowadzający do stateczności i MES. Możesz się do niego zapisać poniżej: