Analiza materiałowo nieliniowa – jak działa?

Kiedy ludzie myślą o analizie nieliniowej, zwykle pierwsze, co przychodzi im na myśl, to nieliniowość materiałowa. Jest to najbardziej oczywisty aspekt nieliniowości w obliczeniach. Nie odważę się powiedzieć, że analiza materiałowo nieliniowa jest tą najważniejszą (myślę, że żadna analiza nie jest), jednak bez wątpienia to bardzo ważna część wiedzy inżynierskiej. Dlatego dzisiaj będzie o tym, jak działa ta analiza i co tak naprawdę znaczy.

Słowo ostrzeżenia

Jest tak wiele aspektów nieliniowości materiałowej, że może się od nich zakręcić w głowie! Szczerze mówiąc, z wieloma z tych aspektów nie mam żadnego doświadczenia. Zdobycie go zajmie mi całe lata (wciąż nad tym pracuję).

Jestem inżynierem budownictwa zajmującym się konstrukcjami stalowymi, więc dla mnie nieliniowość materiałowa wiąże się głównie z uplastycznieniem. Na tym się dzisiaj skupię. Jeśli masz doświadczenia związane z innym aspektem i chcesz podzielić się wiedzą, daj mi znać. Miło byłoby gościć Cię tutaj : )

Poniżej możesz spodziewać się prostego wyjaśnienia bez złożonych teorii, czym jest nieliniowość materiałowa. Jeśli interesują Cię inne typy nieliniowości materiałowej w MESie, zajrzyj tutaj.

Zacznijmy od krzywej naprężenia-odkształcenia dla stali

Materially nonlinear analysis - stress-strain curve

Nie chcę się tu zbytnio wgłębiać w detale. Jestem pewien, że jeśli zajmujesz się inżynierią, już widziałeś ten wykres… setki razy! To krzywa zależności naprężenia-odkształcenia dla stali. Może być też rysowana jako rzeczywiste naprężenia – rzeczywiste odkształcenia, jednak nie jest to temat na dziś. Na szczęście w dzisiejszym temacie różnica pomiędzy obiema krzywymi jest nieistotna.

Istotne jest to, że istnieje część sprężysta (w której naprężenia są proporcjonalne do odkształceń), półka plastyczna (gdzie odkształcenia plastyczne przyrastają przy praktycznie stałym poziomie naprężeń), następnie wzmocnienie i zniszczenie.

Dzisiaj skupię się głównie na 2 pierwszych częściach tego wykresu – części sprężystej i półce plastycznej. Oznacza to, że przy ograniczonych naprężeniach mogę traktować moją stal jako materiał bilinearny (sprężysto-plastyczny) z następującą charakterystyką:

Materially nonlinear analysis - bi-linear material model

To typowy model sprężysto-plastyczny. Czasami stosuje się też efekt wzmocnienia plastycznego (półka plastyczna nie przebiega poziomo, tylko wznosi się nieznacznie). Więcej możesz przeczytać o tym w poście, o którym wspominałem na początku.

Model sprężysto-plastyczny działa tylko do pewnego maksymalnego odkształcenia plastycznego (w którym zaczyna się wzmocnienie). Na wykresie po lewej opisałem to jako maksymalne dopuszczalne odkształcenie plastyczne (“max allowed plastic strain”). Na razie zakładam, że nasz model nie osiągnie tak dużych wartości odkształceń. W rzeczywistej analizie sprawdza się to po prostu, wyświetlając wartości odkształceń plastycznych i sprawdzając ich maksymalne wartości. Jak widać na wykresie po prawej, dla wyższych wartości odkształceń plastycznych model będzie działał tak, jakby półka plastyczna była nieskończona. Może to wpływać na dokładność wyników, dlatego sprawdzanie odkształceń plastycznych jest dobrym pomysłem.

“Wolne” odkształcenia

Wiele materiałów ma nieliniową zależność naprężeń od odkształceń. Większość z nich początkowo jest sztywniejsza, po czym przy wzroście naprężeń stopniowo traci sztywność. Stal ma jednak jedną niesamowitą cechę – potrafi się uplastyczniać.

Uplastycznienie oznacza, że materiał będzie miał stałe naprężenia (a więc i nośność pozostanie ta sama) przy wzrastających odkształceniach. To ogromna zaleta. Istnieje wiele korzyści płynących z uplastycznienia (tak jak i problemów…), tutaj skupię się jednak na aspektach dotyczących rozkładu naprężeń plastycznych.

Pomyśl o tym w ten sposób:

Materially nonlinear analysis - 3 guys with a rock (cool right?)

3 facetów trzyma kamień nad głową. Środkowy facet jest jednak zbyt niski, więc w zasadzie nic nie robi, podczas gdy wyżsi faceci po bokach przenoszą cały ciężar. Wyobraź sobie, że przedstawiają oni kruchy materiał, a kamień jest zbyt ciężki. W takiej sytuacji 2 wysocy faceci nie dadzą rady i zostaną zmiażdżeni. Dopiero wtedy kamień spadnie na środkowego gościa, który będzie bez szans. Jednak, jak pisałem wcześniej:

Stal może utrzymać pewien stały poziom naprężeń (uplastycznienia) przy wzroście odkształceń.

W naszym przykładzie oznaczałoby to, że obaj wysocy faceci mogą przykucnąć, wciąż trzymając kamień. W takim wypadku kamień znajdzie się niżej i gość pośrodku będzie mógł im pomóc… teraz kamień dźwiga już 3 facetów (zamiast 2)!

Materially nonlinear analysis - 3 guys, 2 squats, 1 rock!

Zjawisko to nazywa się plastyczną redystrybucją lub przystosowaniem plastycznym. Istnieją tu oczywiście ograniczenia:

  • Odkształcenia plastyczne nie mogą być zbyt duże – faceci mogą jedynie nieco przykucnąć, zanim kamień ich zmiażdży.
  • Sztuczki tej nie można powtarzać za często – jeśli spodziewasz się, że wysocy faceci będą w kółko kucać i wstawać, szybko się zmęczą i poddadzą (zmęczenie niskocyklowe – niebezpieczna rzecz!).
  • Izotropowe/kinematyczne wzmocnienie materiału – w każdym cyklu obciążenia zmienia się nieco krzywa naprężenia-odkształcenia.

Jak działa analiza materiałowo nieliniowa w elemencie

Analogie są bardzo przydatne, zobaczmy jednak, jak to wszystko działa w elemencie stalowym. Najprostszym przykładem jest zginana belka:

Linear stress distribution in bended beam

Jak widzisz, naprężenia są największe na górnej i dolnej krawędzi przekroju i maleją w kierunku środka. To stan czysto sprężysty.

Aby wyjaśnić, jak działa plastyczność, musimy przeprowadzić mały eksperyment. Wyobraź sobie, że wycinamy niewielką część belki gdzieś pośrodku. Zginanie oznacza, że pionowe boki naszego wyciętego segmentu chcą się obracać w ten sposób (oczywiście deformacje są kompletnie nie w skali, ale dzięki temu możemy je dobrze zobaczyć):

Deformation of section cut-out in bended beam

Teraz podzielimy ten mały kawałek na kilka poziomych pasków. Zmierzymy też odkształcenia w tych paskach. Odkształcenie – to generalnie różnica pomiędzy “oryginalnym niezdeformowanym kształtem” a “kształtem zdeformowanym podczas zginania” dzielona przez początkową długość. Łatwo można zauważyć, że zewnętrzne paski (1 i 7) deformują się mocno (odkształcenia są tam więc duże). Odkształcenia maleją, gdy przesuwamy się w kierunku środka przekroju.

Strain distribution in bended beam

Oczywiście odkształcenia w każdym pasku są proporcjonalne i zmieniają się liniowo tak długo, jak przekroje pozostają płaskie przy zginaniu (zwykle tak się dzieje). Tak więc, jeśli maksymalne odkształcenie w pasku 1 wynosi 0.0035, maksymalne odkształcenie w pasku 2 wynosi 0.0025, a w pasku 4 0.0005. To prosta liniowa zależność.

Założyliśmy, że przekrój pozostanie płaski przy zginaniu. Oznacza to, że prawie pionowe boki naszego wyciętego fragmentu pozostaną liniami prostymi. Jest to rozsądne założenie. Uzbrojeni w tę wiedzę wiemy też, że jeśli odkształcenia w pasku 1 wzrosną dwukrotnie, to również dwukrotnie wzrosną odkształcenia we wszystkich pozostałych paskach. Odkształcenia w naszym przekroju wyglądają tak:

Materially nonlinear analysis - strain distribution in a beam

Wróćmy do sprężysto-plastycznego wykresu zależności naprężeń od odkształceń, który przyjęliśmy do tego zadania. Gdy materiał znajduje się w strefie sprężystej, naprężenia przyrastają proporcjonalnie do odkształceń. Kiedy jednak osiągniemy półkę plastyczną, przyrastają jedynie odkształcenia (podczas gdy naprężenia są praktycznie stałe).

Materially nonlinear analysis - bi-linear elasto plastic model

Wiemy już, jak zmieniają się odkształcenia w dowolnym przekroju. Sprawdźmy więc, jak zmiana ta wpływa na rozkład naprężeń w tym samym przekroju:

Materially nonlinear analysis - essence of stress and strain distribution

Jak widać, na początku w zewnętrznych częściach przekroju występowały bardzo duże naprężenia, podczas gdy środek przekroju praktycznie nie pracował. To podobny przypadek do 3 facetów dźwigających kamień. Stal jest w stanie przenosić obciążenia również przy zwiększonych odkształceniach (jak wtedy, gdy dwaj faceci przykucnęli). Jest z tego znaczna korzyść – im większe obciążenie, tym więcej przekroju poprzecznego włącza się do pracy! Większe odkształcenia na zewnętrznych krawędziach pozwalają na powstanie odkształceń również w środku przekroju. W ten sposób pojawiają się tam również naprężenia, które pomagają w przenoszeniu momentu zginającego. Dokładnie tak, jak niski facet pomógł z kamieniem!

To wcale nie jest taki mały efekt – w przypadku zginanego przekroju prostokątnego możemy uzyskać w ten sposób dodatkowe 50% nośności. W przypadku belek dwuteowych zysk ten będzie na poziomie 6-10%, to jednak zawsze coś : )

Do zapamiętania:

Nieliniowość materiałowa to świetna zabawa! Mam nadzieję, że udało mi się przekazać Ci coś wartego Twojego czasu. Podsumujmy najważniejsze rzeczy:

  • Zawsze, gdy odkształcenia w Twoim modelu są na tyle duże, że pojawia się uplastycznienie, powinieneś używać nieliniowego modelu materiałowego.
  • Najłatwiejszym modelem jest model sprężysto-plastyczny. Należy jednak zawsze sprawdzić, czy maksymalne odkształcenia w modelu nie przekraczają wartości, po której następuje wzmocnienie.
  • Uplastycznienie pozwala na przeniesienie części obciążenia na inne elementy konstrukcji (jak “środkowy facet”).
  • Plastyczna redystrybucja obciążeń jest bardzo przydatna, należy jednak pamiętać o takich problemach, jak niskocyklowe zniszczenie (jeśli obciążenie zmienia się w czasie).

Chcesz nauczyć się więcej?

Jeśli podobał Ci się dzisiejszy post, podziel się nim z przyjaciółmi – będę za to ogromnie wdzięczny. Jeśli masz wolne 15 sekund, napisz komentarz ze swoimi przemyśleniami lub pytaniami. Staram się odpowiadać na wszystkie komentarze 🙂

Jeśli interesujesz się MESem, możesz dowiedzieć się kilku przydatnych rzeczy ma moim darmowym kursie:

Wstęp do stateczności i MES


12 komentarzy

  1. Piotr Marzec 25, 2018 at 1:01 pm - Reply

    Pana posty są świetne. Podziwiam talent dydaktyczny i umiejętność dobierania trafnych porównań.
    Pozdrawiam i dziękuję za dobrą lekturę

    • Łukasz Skotny Marzec 25, 2018 at 3:27 pm - Reply

      Cześć 🙂

      Dzięki za miłe słowa – cieszę się że to co robię przypadło Ci do gustu 🙂

      Pozdr
      Ł

  2. Sławomir Marzec 26, 2018 at 3:21 pm - Reply

    Post genialny. Naprawdę jestem pod olbrzymim wrażeniem. Gratuluję, naprawdę posiada Pan wyjątkowy talent do przedstawiania trudnych zagadnień prostymi słowami – co w przypadku wytrzymałości materiałów i analizy MES zdarza się… chyba wcale 🙂

    Pozdrawiam gorąco i dziękuję za włożoną pracę!

    • Łukasz Skotny Marzec 27, 2018 at 2:56 am - Reply

      Cześć!

      Dzięki! Strasznie się Cieszę że post Ci się podobał 🙂

      Pozdr
      Ł

  3. Kamil Kwiecień 29, 2018 at 8:10 pm - Reply

    Cześć Łukasz,

    Kolejny raz warto było poświęcić trochę czasu. Dzięki Twoim postom nabieram więcej chęci do dalszej nauki 😉

    • Łukasz Skotny Kwiecień 30, 2018 at 3:22 am - Reply

      Hej!

      Strasznie miło mi to słyszeć : )
      Głęboko wierzę że na prawdę warto się uczyć – jeśli moge posty Cię do tego zachęcają… to jest to dla mnie sukces 😀

      Pozdr
      Ł

  4. Kuba Maj 6, 2018 at 8:33 am - Reply

    Cześć
    Fajne czytanie na piątek…
    Co piątek czytam materiały które mi podsyłasz za które bardzo dziękuję.

    W tekście tym celowo pominięto te niedobre klasy przekrojow?
    Szczególnie ciesząca się zła sława klasę 4…

    Pozdr Kuba

    • Łukasz Skotny Maj 7, 2018 at 3:19 am - Reply

      Cześć Kuba!

      Bardzo się cieszę – miło słyszeć że materiały Ci się podobają : )

      Tak – tutaj celowo pominąłem klasy przekroju – to trochę nie o tym temat. Znaczy łatwo da się zauwyażyć co to znaczy wskaźnik plastyczny i dlaczego ma inny rozkład naprężeń niż wskaźnik sprężysty… ale ponadto to jest jednak historia o czymś zupełnie innym : )

      Nie napisałem jeszcze posta o klasach przekrojów… może kiedyś się zbiorę 😛

      pozdr
      Ł

  5. Mateusz Maj 11, 2018 at 10:19 am - Reply

    Witam,

    Rowniez od jakiegos czasu zaczytuje sie artykulami z Pana strony. Bardzo ciekawe sa. Gratuluje pomyslu:)

    Od jakiegos czasu zastanawialem sie natomiast jakie sa ograniczenia co do tych odksztalcen plastycznych.
    W Eurokodzie nie znalazlem ograniczen co do tego parmatru. W normach norweskich NORSOK N-004 sa wprost podane wielkisci maxymalnych odksztalcen przy rozerwaniu (rupture) dla klas stali S235, S355 i S420. Nie moge jednak znalesc dokumentu ktory okreslalby odksztalcenia przy uplastycznieniu dla danej klasy stali.
    Do liczenia polaczen stalowych wykorzystuje program Idea Statica i program domyslnie ma ustawione 5% linitu na odksztalcenia plastyczne. Czy moglby ktos potwierdzic ta wartosc i gdzie ja znalesc

    Jeszcze tak tylko nawiaze do tego kuciania wyzszych panow. Nalezy tez podkreslic ze tempo/predkosc odksztalcen tez ma wplyw na wlasciwosci stali. W wiekszosci “typowych” przypadkow nie ma to znaczenia ale juz przy analizie/projektowaniu obieltow na uderzenia badz wybuch nalezy uwzglednic jeszcze “cos” wiecej 😉

    Pozdrawiam

    • Łukasz Skotny Maj 11, 2018 at 10:28 am - Reply

      Cześć Mateusz 🙂

      Fakt, strain rate jest istotny… przy dużych prędkościach, ale nie chciałem się zagłębiać w takie detale. Z resztą poza małymi epizodami nie miałem z tematem zderzen na tyle kontaktu by coś rozsądnie o tym napisać 🙂

      Co do limitu to wydaje mi się że w którymś załączniku EN 1993-1-5 jest mowa o 5% ale pewności nie mam. Możesz też poczytać DNV-RP-C208 – tam podano limity zależnie od sytuacji.

      Pozdrawiam!
      Ł

    • Arkadiusz Bała Lipiec 27, 2018 at 9:03 am - Reply

      Witam!

      Również bardzo lubię czytać artykułu Pana Łukasza, praktycznie nie widziałem czegoś podobnego, napisanego równie przystępnie 🙂

      Zawodowo zajmuję się wsparciem technicznym do Idea StatiCa, więc w odpowiedzi na Pana pytanie o te 5% limitu to wzmiankę na ten temat znajdzie Pan dokładnie w EN1993-1-5, App. C, Par. C.8, Note 1 “NOTE 1: The National Annex may specify the limiting of principal strain. A value of 5% is recommended.”.

      Pozdrawiam,
      Arkadiusz Bała

      • Łukasz Skotny Lipiec 27, 2018 at 9:08 am - Reply

        Cześć Arek!

        Myślę że tutaj wszyscy jesteśmy po imieniu 🙂

        Dzięki za info… muszę kiedyś przeczytać wszystkie Eurokody od deski do deski. Pewnie jest tam wiele rzeczy o których nawet nie wiem 🙂

        pozdr
        Ł

Leave A Comment

Do NOT follow this link or you will be banned from the site!