Sztywność konstrukcji: moment bezwładności

Dostałem od Manoj pytanie dotyczące podstaw sztywności: Dlaczego zakrzywione panele mają większą sztywność od płaskich? Postanowiłem więc podzielić się z Wami historią o sztywności i… jaskiniowcach!

Pytanie może wydawać się proste, przypuszczam jednak, że w poście tym znajdziesz kilka fajnych pomysłów, o których nie słyszałeś. Koniec końców kto nie lubi dobrej historii, która w prosty sposób wyjaśnia trudne zagadnienia?

Opowiedzmy historię…

Dosłownie zawsze nienawidziłem zajęć z wytrzymałości materiałów. Były nudne, przykłady wydawały się niepraktyczne, do tego dochodziły równania różniczkowe… nigdy więcej!

Przez lata gardziłem tymi kursami… dopóki nie zacząłem potrzebować wiedzy z tego zakresu. Nie uczyłem się wytrzymałości materiałów jako student (zawsze wydawała mi się wiedzą czysto teoretyczną), raczej spełniłem minimum, żeby dostać 5 bez próby zrozumienia zagadnień. Ba! Nauczyłem się nawet na pamięć kilku rozwiązań równań, bo byłem zbyt leniwy, by nauczyć się, jak je rozwiązać.

Tak więc, kiedy nadszedł czas, że wiedza ta okazała się być potrzebna, nadszedł też czas, by się tego nauczyć. Na szczęście zawsze miałem dar do rozumienia rzeczy w taki zabawno-dziecinny sposób. Dzięki temu byłem w stanie opowiadać sobie historie o rzeczach, które pomogły mi to wszystko zrozumieć. Później, ku mojemu zaskoczeniu, odkryłem, że ludzie zwykle nie uczą się w taki sposób. Zacząłem więc używać tych historii na kursach, które prowadziłem.

Głęboko wierzę, że tak długo, jak nie jesteś wstanie wytłumaczyć swojej babci zagadnień inżynierii, nie rozumiesz tej inżynierii wystarczająco dobrze. Po to właśnie są opowieści.

Wiem, że większość studentów ma spore problemy z wytrzymałością materiałów, dlatego większość moich zajęć zaczyna się od „wszystko, co musisz wiedzieć o wytrzymałości w 45 min”. Oto historia o jaskiniowcach!

Dawno, dawno temu we Francji…

Nasze plemię jaskiniowców żyje we Francji. Jest to o tyle ważny fakt, że powszechnie wiadomo, iż francuskie drzewa nie są okrągłe w przekroju. Typowe francuskie drzewo ma przekrój kwadratowy. Informacja ta zaraz nam się przyda!

Wyobraź sobie, że nasz prymitywny lud napotkał pierwszy problem inżynierski – chce przejść przez rzekę.

Ponieważ dookoła rośnie wiele drzew, wystarczy, że jaskiniowcy zetną jedno, przerzucą przez rzekę i przejdą po nim.

Oczywiście wycięcie mniejszego drzewa to mniej pracy… i tak właśnie odkrywamy pierwszy problem optymalizacji.

Nie mając nic więcej do roboty, nasze plemię postanowiło przeprowadzić kilka badań, żeby sprawdzić, co się stanie.

Jak jaskiniowcy uczą się inżynierii

Pierwsze obserwacje są prymitywnie proste. Im grubsze drzewo, tym mocniejsze. Co zaskakujące, wyniki badań nie są do końca spójne, ale po kilku latach doświadczeń jaskiniowcy mogą zgadywać, czy dany przekrój jest wystarczający czy też nie. Powstają pierwsze tablice projektowe:

To po prostu pole przekroju poprzecznego! Im więcej go mamy, tym lepiej!

Wypadki w służbie postępu

Teoretycznie opowieść mogłaby się skończyć na tym etapie, gdyby nie to, że ktoś zrobił coś głupiego. Zamiast umieścić prostokątny przekrój „na płasko” jak zawsze, położył go odwrotnie… a otrzymana nośność nie zgadzała się z wykresami!

To samo pole przekroju, a tak drastycznie inne wyniki…

Pierwszą łatwą do zauważenia rzeczą jest to, że przy próbnym jaskiniowym obciążeniu (nazwijmy go „Ugh!”) „płaski jak zawsze przekrój” ugina się dużo mocniej niż przekrój ustawiony pionowo.

Płynie stąd ważny wniosek: ugięcie nie zależy od pola przekroju! Musi istnieć jakiś inny parametr!

Nazwij swój kierunek!

Aby zgłębić to fantastyczne odkrycie, musimy poczynić kilka założeń. Jesteśmy trochę beznadziejni, jeżeli chodzi o definiowanie „położenia” drzewa. Używanie określeń „płaski jak zawsze” i „pionowy” ma sens w przypadku francuskich drzew… nie działa jednak przy nieregularnych kształtach.

Nie możemy też używać określeń typu „górny”, „dolny”, „prawy”, lewy”:

To zmusiło jaskiniowców do zdefiniowania osi. Łatwo było eksperymentalnie sprawdzić, w jakim kierunku drzewo ugięło się najbardziej, a w jakim najmniej. Co dziwne, kierunku te okazały się być zawsze do siebie prostopadłe.

Zapamiętaj: Kierunek obciążenia (i kierunek odkształcenia) jest prostopadły do osi! Oznacza to, że jeśli obciążenie działa w dół, deformacje określamy względem poziomej osi. Jak na rysunku powyżej.

Może być to nieco mylące na początku, ale po pewnym czasie wchodzi w krew.

Dzięki temu odkryciu możemy definiować obciążenie w odniesieniu do osi. Jest to naprawdę świetne, ponieważ przekrój zawsze ma „silniejszy” i „słabszy” kierunek. Nie zmienia się to nawet wtedy, gdy obrócimy nasz przekrój! Aby więc uniknąć nieporozumień, zawsze umieszczamy osie w taki sposób, by przecinały się w środku ciężkości naszego przekroju.

Warto też zauważyć, że przekrój ustawiony pionowo nieco się obraca pod wpływem obciążenia. Może nie chwieje się, jest jednak trochę niestabilny. To jest problem stateczności: każdy przekrój chce być wygięty względem najsłabszej osi. Jeśli będziemy go zginać względem mocnej osi, będzie próbował obrócić się, aby zmienić położenie obciążenia. Zjawisko to nazywa się zwichrzeniem, jest to jednak temat na inną opowieść!

Siła ukryta w drzewie…

Skoro udało się nam zdefiniować osie, brakuje już tylko jednego elementu układanki: skąd się bierze różnica między słabą i mocną osią?

Spójrzmy raz jeszcze:

Jeśli będziemy patrzeć wystarczająco długo, z pewnością to zobaczymy! Drzewo znajduje się „bliżej” słabszej osi i „dalej” od mocnej osi. I jest to jedyna ważna różnica.

Jeśli materiał przekroju znajduje się „daleko” od osi tego przekroju, to przekrój jest „silniejszy” lub też bardziej sztywny. Jeśli materiał jest stosunkowo blisko osi, przekrój jest „słaby”.

Zjawisko to zostało nazwane momentem bezwładności.

Jeśli się nad tym zastanowisz, to ma to sens. Koniec końców po to właśnie robi się przekroje dwuteowe.

Historia się kończy…

Tak po prawdzie historia jest nieco dłuższa, ale doszliśmy do etapu, kiedy mogę w końcu odpowiedzieć na pytanie Manoj. Jestem pewien, że wcześniej czy później poznacie dalszy ciąg tej historii na moim blogu!

W odpowiedzi na pytanie

Płaski panel ma bardzo mały moment bezwładności. Mówiąc prostym językiem, ma materiał bardzo blisko osi, względem której jest zginany. Panel zakrzywiony ma większy moment bezwładności względem tej samej osi. Dlatego zachowuje się bardziej sztywno!

Oczywiście moment bezwładności ma wpływ nie tylko na ugięcia przy zginaniu, m.in. jeśli przekrój ma duży moment bezwładności, jest też mniej prawdopodobne, że będzie chciał się wyboczyć przy ściskaniu.

Ludzie zwykle rozumieją moment bezwładności jako sztywność. Sztywność stanowi jednak znacznie szerszy termin… choć przy jej wyznaczaniu przewija się i moment bezwładności.

Mam nadzieję, że dzisiejszy wpis okazał się dla Ciebie przydatny.

Chcesz dowiedzieć się więcej?

Po pierwsze, jeśli masz jakieś pytania związane z MESem lub konstrukcjami stalowymi, możesz zostawić je w komentarzach poniżej. Będę mógł odpowiedzieć na Twoje pytanie, tak jak odpowiedziałem na pytanie Manoj.

Zrozumienie zagadnień sztywności to świetny krok przy poznawaniu MESa. Sztywność stanowi jedną z fundamentalnych koncepcji, które koniecznie trzeba zrozumieć, by opanować metodę elementów skończonych. Jeśli interesujesz się MESem, możesz nauczyć się kilku rzeczy na moim bezpłatnym kursie. Możesz się do niego zapisać poniżej: