Symetria w MES może być niebezpieczna!

Na ogół symetria w MESie to świetna sprawa. Redukuje rozmiar zadania, a więc i czas obliczeń. Czas to wciąż spory problem zwłaszcza przy obliczaniu dużych, złożonych modeli. Nie dziwi więc, że używanie symetrii w MESie jest bardzo popularne. Jest tu jednak pewien haczyk. Zawsze, gdy wykorzystujesz symetrię, czynisz pewne założenia. Założenia te mogą powodować, że otrzymywane wyniki nie będą pełne.

Czym jest symetria w MES

Symetria jest po prostu zestawem warunków brzegowych, które sprawiają, że nasz model pracuje tak, jakbyśmy zamodelowali cały model.

Zwykle jest to tłumaczone na przykładzie belki obciążonej dwiema siłami:

Można tu łatwo zauważyć, że model jest symetryczny. Oznacza to, że możemy podzielić go w połowie (w miejscu osi symetrii). Dostaniemy wtedy dwa lustrzane odbicia. Takie sytuacje bezdyskusyjnie pozwalają nam na zastosowanie symetrii.

Można zauważyć, że na środku naszej zdeformowanej belki nie ma żadnego kąta obrotu – środek belki przesunął się po prostu pionowo w dół (wzdłuż osi symetrii). Informacja ta jest wystarczająca, żeby określić warunki symetrii:

Przy takiej definicji problemu spokojnie można rozwiązywać jedynie połowę zadania, a otrzymane wyniki będą poprawne. To olbrzymia zaleta symetrii, że redukuje zadanie, nie ingerując w poprawność wyników.

Gdzie jest haczyk?

Musi być oczywiście haczyk, jak sugeruje tytuł. To co przemilczałem wcześniej, to fakt, że w naszym zadaniu nie tylko model i obciążenia są symetryczne… symetryczne są też wyniki!

To problem, który łatwo niestety przegapić. Symetria w MESie zawsze da nam symetryczne wyniki… w końcu to właśnie symetria.

Na pierwszy rzut oka wydawać się może, że to nie problem. Ostatecznie mamy przecież symetryczny model z symetrycznymi obciążeniami i warunkami brzegowymi. Dlaczego więc wyniki miałyby być niesymetryczne? Niestety czasami wcale nie są.

Jeśli analizujesz drgania, wyboczenie lub jakiekolwiek zagadnienie, które może dać niesymetryczne wyniki, nie stosuj symetrii!

Mały przykład

Pokażę Wam, na czym polega problem na przykładzie znanego wszystkim zadania: pręta Eulera!

Wykorzystamy liniową analizę wyboczeniową (LBA), żeby policzyć wartości własne modelu. Pierwszych 5 wartości własnych wygląda następująco:

Łatwo da się zauważyć, że zadanie w zasadzie jest symetryczne. Zredukujmy je więc:

Zauważ, że z wyników zniknęły 2 i 4 postać własna.Wartości pozostałych wyników są prawidłowe (takie same jak w całym modelu), brakuje jednak 2 wyników!

Przyjrzyj się dokładniej formie 2 i 4 z pierwszego modelu. Formy te nie są symetryczne! Dokładniej rzecz ujmując, są one antysymetryczne.

Dlatego właśnie symetria w MESie może być niebezpieczna:

Pokazuje ona poprawną odpowiedź, ukrywa jednak część wyników wyboczenia, drgań i podobnych analiz. Problemy zaczynają się, gdy przegapimy coś istotnego, jak na przykład częstość drgań, której szukamy lub formę wyboczenia, której nie możemy przeciwdziałać.

Kilka słów na koniec

Jak widzisz, czasami symetria może działać na naszą niekorzyść. Nie zmienia to jednak faktu, że to genialne narzędzie, którego powinniśmy używać, kiedy tylko jest to możliwe.

Należy po prostu pamiętać o ograniczeniach tej metody.

Jeśli podobał Ci się ten post, być może spodoba Ci się również mój darmowy kurs online z podstaw stateczności i MES. Możesz się do niego zapisać poniżej: