Prostym językiem o liniowej analizie wyboczeniowej

Wyboczenie jest bardzo niebezpiecznym zjawiskiem. Może ono spowodować katastrofę konstrukcji, nawet jeśli naprężenia w niej występujące nie osiągają granicy plastyczności. Analizy wyboczeniowej używa się do sprawdzenia stateczności konstrukcji. W tym poście przedstawię jej pozytywne strony i ograniczenia.

Liniowa analiza wyboczeniowa (Linear Buckling lub LBA: Linear Bifurcation Analysis)

Istnieje dobry powód, dla którego liniowa analiza wyboczeniowa nazywana jest na ogół po prostu „wyboczeniem”. To zdecydowanie najpopularniejsze narzędzie przy problemach wyboczenia. Analiza ta jest tak popularna, że większość pakietów MES w swoich preprocesorach nazywa ją po prostu „analizą wyboczeniową”.

Zanim przejdziemy do pozytywnych i negatywnych aspektów omawianej analizy, spójrzmy najpierw na to, jakie wyniki możemy w ogóle z niej uzyskać.

Wyniki analizy wyboczeniowej:

• wartości własne (często opisywane symbolem α lub nazywane mnożnikiem krytycznym): Jeśli pomnożymy zadane obciążenia przez otrzymaną wartość mnożnika krytycznego, otrzymamy obciążenie powodujące utratę stateczności idealnego układu (jak na przykład siła krytyczna Eulera w ściskanym pręcie).
• postać wyboczenia: możemy zobaczyć na ekranie, jak wygląda postać deformacji przy wyboczeniu. Zauważ, że nie jest to rzeczywista deformacja. Maksymalna wartość przemieszczeń zawsze wynosi 1.0 (chyba że użytkownik zdecyduje się znormalizować ją inaczej, co jest możliwe w niektórych programach). Postać wyboczenia pokazuje, w którym miejscu występuje utrata stateczności i jak wygląda jej deformacja.

Ustawienia liniowej analizy wyboczeniowej

Ustawienia LBA należą do jednych z najprostszych. Jeśli masz model z poprawnie zadanymi obciążeniami i warunkami brzegowymi, jedyne, co musisz zrobić, to ustawić w programie liczę wartości własnych, jaką chcesz uzyskać. Na ogół domyślnie żądam 10, chyba że szukam globalnych problemów ze statecznością w konstrukcjach prętowych. Następnie wystarczy nacisnąć „oblicz” i gotowe.

Istnieje tylko jedna niewielka pułapka w LBA:

Większość (jeśli nie wszystkie) programów poszukuje domyślnie rozwiązań najmniejszych wartości własnych. Jako inżynierowie jesteśmy oczywiście zainteresowani najniższymi mnożnikami (jako że dają one najmniej korzystny wynik – najniższą nośność). Problemem może być to, co program właściwie rozumie poprzez „najniższy” mnożnik. Często jest to wartość „tak bliska zeru jak to możliwe”, co z kolei oznacza, że dozwolone są wartości ujemne.

Ujemne wartości własne są dość problematyczne. Odwracają one obciążenia w modelu, co na ogół nie jest możliwe w rzeczywistych konstrukcjach. Dlatego najlepiej jest wyłączyć z zasady poszukiwanie ujemnych wartości własnych. Można to zrobić na wiele sposobów, w zależności od używanego programu obliczeniowego. Niektóre mają przełącznik „tylko wartości dodatnie”, w niektórych można podać zakres, w jakim poszukuje się wyników (najlepiej używać zakresu „od 0,00001 do 1000”). Natknąłem się również na programy, które nie pozwalają na takie ustawienia. Analizowanie jakiejkolwiek powłoki w tego typu programach musi być wyjątkowo frustrujące!

Przykład liniowej analizy wyboczeniowej

Chcemy przeanalizować powłokę (z wykorzystaniem symetrii, żeby zmniejszyć rozmiar modelu). Ponieważ nasz model jest pionowo ściskany obciążeniem liniowym na górnej krawędzi i jednocześnie obciążony nadciśnieniem, spodziewamy się lokalnej utraty stateczności w pobliżu podpór. Należy pamiętać, że jednorodne ciśnienie wewnątrz powłoki w tym przypadku powoduje obwodowe rozciąganie i nie może ono spowodować utraty stateczności. Zażądano od programu 10 wartości własnych, z czego 3 pierwsze wyglądają następująco:

Na pierwszy rzut oka widać, że coś poszło nie tak – uzyskane postacie wyboczenia wyraźnie mają charakter globalny. Zauważ, że wszystkie uzyskane mnożniki obciążeń są ujemne. Oznacza to, że program znalazł krytyczne obciążenie poprzez odwrócenie zadanego. Zamiast przyłożonego nadciśnienia, mamy więc podciśnienie (powodujące obwodowe ściskanie), natomiast w kierunku pionowym powłoka jest rozciągana. Jest to więc rozwiązanie, ale nie tego problemu, który chcieliśmy rozwiązać.

Proste żądanie wartości dodatnich w zakładce przeprowadzanej analizy daje następujące wyniki:

Oczywiście, drugi zestaw wyników jest w tym wypadku prawidłowy. Należy również pamiętać, że wartości ujemne są tutaj „bliżej zera” niż dodatnie i jako takie zostały przedstawione najpierw. Wartości dodatnie uzyskano również w pierwszym toku obliczeń (wartość własna 6 wynosiła 0.78196). Jednakże jeśli bez wyłączenia wartości ujemnych chce się dostać 10 pierwszych wartości dodatnich, trzeba uzyskać naprawdę sporo wyników, a następnie je posortować (raczej nieprzyjemne zadanie).

Plusy i minusy liniowej analizy wyboczeniowej

Główne zastosowania LBA:

• Szybkie sprawdzenie utraty stateczności: Jeśli analiza LBA daje najmniejszą wartość własną mniejszą niż 1.0, model z całą pewnością będzie niestateczny! Jest to zdecydowanie najszybsza metoda sprawdzenia takiego przypadku.
• Kształt imperfekcji: Postać wyboczenia uzyskana z LBA jest często używana jako kształt wstępnej imperfekcji. Może nie zawsze jest to rozwiązanie idealne, ale często jest wystarczające (zwłaszcza w modelach prętowych).
• Weryfikacja modelu: Można szybko sprawdzić, czy w modelu wszystko działa: czy zachowuje się tak, jak powinien, czy deformuje się prawidłowo itp.
• Szybka ocena: Można sprawdzić, które regiony będą miały problemy ze statecznością, a także otrzymać szacunkową informację, jak blisko utraty stateczności jest analizowany model.

Oczywiście analiza wyboczeniowa nie jest ostateczną odpowiedzią na wszystkie problemy inżynierii. Ma ona pewne poważne ograniczenia!

Ograniczenia LBA:

• Wyniki nie są w pełni wiarygodne: Nawet jeśli pierwsza wartość własna jest większa niż 1.0, nie znaczy to, że nie wystąpi utrata stateczności. Analiza ta nie bierze pod uwagę kilku kluczowych czynników.
• LBA jest geometrycznie liniowa: Nie bierze pod uwagę nieliniowości geometrycznej. To bardzo kłopotliwa cecha w większości przypadków, może znacznie wpłynąć na wynik. Być może słyszałeś, że LBA przeszacowuje nośność o 15%. Jest to często stosowane jako wartość odniesienia. Wynik ten pochodzi z badań prowadzonych przez wielu naukowców w latach 80. Od tej pory jednak znaleziono wiele przypadków, dla których przeszacowanie to jest znacznie wyższe.
• LBA jest materiałowo liniowa: Nie bierze pod uwagę nieliniowości fizycznej. W zależności od zagadnienia, to może (ale nie musi) być problemem. Jeśli analiza liniowa nie pokazuje żadnego uplastycznienia, to oczywiście nie ma problemu. Jeśli jednak w modelu istnieją miejsca, w których osiągnięta zostaje granica plastyczności, może ona znacząco wpłynąć na utratę stateczności modelu. „Plastyczne wyboczenie” znane również jako wyboczenie w postaci „stopy słonia” jest znanym zjawiskiem w konstrukcjach powłokowych. LBA nie jest w stanie prawidłowo rozwiązać tego i podobnych problemów.
• LBA ma problemy z imperfekcjami: W wielu przypadkach wprowadzenie imperfekcji prowadzi do spadku nośności modelu. Jeśli wprowadzi się imperfekcje do liniowej analizy wyboczeniowej, nośność również się zmniejszy, ale nie tak bardzo, jak powinna. Jest to spowodowane tym, że LBA jest geometrycznie liniowa i nie bierze pod uwagę zginania drugiego rzędu oraz podobnych efektów.

Moje spostrzeżenia odnośnie LBA:

Zawsze używam tej analizy w pierwszej kolejności. Cokolwiek projektuję w MESie, LBA to pierwsza analiza, którą wykonuję. Wartość tej analizy jest ogromna, bo czas obliczeń jest minimalny (w porównaniu do nieliniowej analizy wyboczeniowej).

Fakt, że mogę niemal natychmiast sprawdzić, czy model działa, tak jak powinien, jest niesamowity. Czasami obliczenia nieliniowe trwają godziny – możliwość zweryfikowania modelu w ciągu kilku minut jest bezcenna. Można dzięki temu uniknąć rozczarowania, gdy po 10-godzinnych obliczeniach wyniki wskazują, że zapomniało się dodać jedną podporę… Ponadto, jeśli mnożnik krytyczny z LBA jest mniejszy niż 1.0, wiadomo już, że trzeba wzmocnić model, nie ma potrzeby przeprowadzania skomplikowanych analiz nieliniowych.

Należy jednak pamiętać, że (w mojej opinii) nie jest to ostateczna analiza. Zdaję sobie sprawę, że istnieją specjaliści, którzy po kilkudziesięciu latach doświadczeń mogą oceniać wyniki w oparciu o rezultaty otrzymane z LBA. Ja jednak wolę zawsze wykonywać sprawdzenie w analizie nieliniowej. Mając doktorat ze stateczności powłok, zdaję sobie sprawę, że istnieje wiele zagadnień stateczności (zwłaszcza w powłokach), które nie są znane. Wiele silosów zawaliło się z powodu wyboczenia plastycznego, zanim zjawisko to zostało odkryte. Wole więc analizować wszystko zamiast „odkrywać” inne zjawiska na własnej skórze.

Darmowy kurs MES

Chcesz się dowiedzieć więcej? Zapisz się na darmowy kurs o MES i stateczności poniżej!